В.Е. Мосягин, Н.А. Швемлер. Асимптотический доверительный интервал для точки разрыва плотности распределения ... С. 194-199

УДК 519.213

MSC: 60G51

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-194-199 

Рассматривается задача об интервальном оценивании неизвестного параметра $ \theta\in \Theta \subset R $ плотности распределения $f(x,\theta) $ (относительно меры Лебега) по выборке $ X_1,\dots,X_n $ большого объема. Предполагается, что в точке $ x=\theta$ плотность имеет разрыв первого рода. Доверительный интервал строится по известной оценке максимального правдоподобия $ \theta_n^* $ и ранее найденной авторами функции распределения $ G(x,\theta) $, которая является предельной для последовательности функций распределений нормированных оценок максимального правдоподобия $ n(\theta_n^*-\theta) $. Доказывается, что построенный доверительный интервал является асимптотически точным. В статье также описан способ "быстрого" вычисления оценок максимального правдоподобия для точки разрыва плотности.

Ключевые слова: оценивание точки разрыва плотности вероятности, оценки максимального правдоподобия, асимптотический доверительный интервал, предельные распределения статистических оценок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Боровков А.А. Оценки момента разладки по большим выборкам при неизвестных распределениях // Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53. С. 437–457.

2.   Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Ассимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

3.   Мосягин В.Е. Асимптотическое представление для процесса отношения правдоподобия в случае разрывной плотности // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 2. С. 416–423.

4.   Мосягин В.Е. Оценка скорости сходимости распределений нормированных оценок максимального правдоподобия в случае разрывной плотности // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, №4, С. 895–903.

5.   Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Распределение момента максимума разности двух пуассоновских процессов с отрицательным линейным сносом // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 1229–1248. doi: 10.17377/semi.2016.13.096 .

6.   Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Локальные свойства предельного распределения статистической оценки точки разрыва плотности // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 1307–1316. doi: 10.17377/semi.2017.14.111 .

7.   Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Метод усредненного минимума для нахождения состоятельной оценки точки разрыва плотности распределения // Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования: тез. докл. Междунар. конф. / АлтГУ. Барнаул, 2017. С. 453–455.

8.   Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964. 280 с.

9.   Швемлер Н.А., Мосягин В.Е. Программа для оценки неизвестного параметра точки разрыва плотности распределения // Свид. № 2017660490 от 22.09.2017 Федеральной службы по интеллектуальной собственности РОСПАТЕНТ.

10.   Borovkov A.A., Linke Yu. Yu. Change–point problem for large samples and incomplete information on distributions // Math. Methods Statist. 2005. Vol. 14, no. 4. P. 404–430.

11.   Hawkins D.L. A simple least squares method for estimating a change in mean // Comm. Statist. Simulation. 1986. Vol. 15. P. 655–679.

Поступила 31.03.2018

Мосягин Вячеслав Евгеньевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Тюменский государственный университет,
г. Тюмень
e-mail: vmosyagin@mail.ru

Швемлер Наталья Александровна
ассистент
Тюменский государственный университет,
г. Тюмень
e-mail: shvemler.natalya@mail.ru

English

V.E. Mosyagin, N.A. Shvemler. Asymptotic confidence interval for a discontinuity point of a probability density function.

We consider the problem of interval estimation of an unknown parameter $\theta\in\Theta\subset R$ of a distribution density $f(x,\theta)$ (with respect to the Lebesgue measure) for a sample $X_1,\dots,X_n$ of large size. It is assumed that the density has a discontinuity of the first kind at the point $x=\theta$. We construct a confidence interval based on a known maximum likelihood estimator $\theta_n^*$ and the distribution function $G(x,\theta)$ found by the authors earlier, which is the limit of the sequence of distribution functions of normalized maximum likelihood estimators\linebreak $n(\theta_n^*-\theta)$. It is proved that the resulting confidence interval is asymptotically exact. We also describe a method for the "fast" calculation of maximum likelihood estimators for a discontinuity point of a density.

Keywords: estimation of a discontinuity point of a probability density, maximum likelihood estimators, asymptotic confidence interval, limiting distributions of statistical estimators.

The paper was received by the Editorial Office on March 31, 2018.

Vyacheslav Evgen’evich Mosyagin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Tyumen State University, Tyumen, 625003 Russia, e-mail: vmosyagin@mail.ru.

Natal’ya Aleksandrovna Shvemler, Tyumen State University, Tyumen, 625003 Russia,
e-mail: shvemler.natalya@mail.ru.