А.В. Марцинкевич, Н.Т. Воробьёв. Произведения и объединения локально нормальных классов Фиттинга ... С. 152-157

УДК 512.542

MSC: 20D10, 20D15

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-152-157

Работа выполнена при поддержке БРФФИ (проект Ф17М-064) и Государственной программы научных исследований Республики Беларусь “Конвергенция” (2016–2020).

Пусть $\pi$ - непустое множество простых чисел. Неединичный класс Фиттинга $\mathfrak{F}$ называют нормальным в классе $\mathfrak{S}_\pi$ всех конечных разрешимых  $\pi$-групп или просто $\pi$-нормальным (обозначают $\mathfrak{F\trianglelefteq S}_\pi$), если $\mathfrak{F\subseteq S}_\pi$ и для любой $\pi$-группы $G$ ее $\mathfrak{F}$-радикал является $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппой. Если $\pi$ - множество всех простых чисел, то $\mathfrak{F}$ называют нормальным.  Произведение классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ назовем $\pi$-нормальным, если $\mathfrak{FH}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга.  В работе доказано существование $\pi$-нормальных произведений классов Фиттинга, факторизуемых не $\pi$-нормальными сомножителями. Пусть $\mathbb{P}$ - множество всех простых чисел,  $\varnothing\neq\pi\subseteq\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ - некоторый класс Фиттинга $\pi$-групп и $\omega=\sigma(\mathfrak{F})$ - множество всех простых делителей всех групп из  $\mathfrak{F}$. Установлено, что если $\mathfrak{F^2=F}$ и $\mathfrak{H}$ - класс всех $\pi$-групп, $\omega$-цоколь которых централен, то произведение $\mathfrak{FH}$ является $\pi$-нормальным, а каждый из сомножителей $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ не $\pi$-нормален. Решеточным объединением $\mathfrak{F\vee H}$ классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ называют класс Фиттинга, порожденный  $\mathfrak{F\cup H}$. Если $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным классом Фиттинга, то $\mathfrak{F\vee H}$ назовем $\pi$-нормальным. Пусть $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ - классы Фиттинга $\pi$-групп.  Доказано, что решеточное объединение $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным тогда и только тогда, когда хотя бы один из классов $\mathfrak{F}$ или $\mathfrak{H}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга.

Ключевые слова: $\mathfrak{F}$-радикал, класс Фиттинга, $\pi$-нормальный класс Фиттинга, объединение классов Фиттинга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; N Y: Walter de Gruyter & Co, 1992. 891 p. (De Gruyter Expo. Math., 4.) ISBN: 978-3-11-087013-8 .

2.   Blessenohl D., Gasch$\ddot{\mathrm{u}}$tz W.  $\ddot{\mathrm{U}}$ber normale Schunk- und Fittingklassen // Math. Z. 1970. Vol. 118, no. 1. S. 1–8. doi: 10.1007/BF01109888 .

3.   Воробьёв Н.Т., Марцинкевич А.В. Конечные $\pi$-группы с нормальными инъекторами // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 4. С. 790–797.

4.   Cossey J. Products of Fitting classes // Math. Z. 1975. Vol 141, no. 3. P. 289–295. doi: 10.1007/BF01247314 .

5.   Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Изд. 11 / ИМ РАН. Новосибирск, 1990.

6.   Vorob’ev N.T. On the factorization of local and non-local products of finite groups of non-local formations // Proc. 7th Reg. Sci. Sess. Math., Sect. Algebra and Number Theory. Kalsk (Poland), 1990. P 9–13.

7.   Ведерников В.А. О локальных формациях конечных групп // Мат. заметки. 1989. Т. 46, вып. 6. С. 32–37.

8.   Воробьёв Н.Т., Скиба А.Н. Локальные произведения нелокальных классов Фиттинга // Вопросы алгебры. 1995. № 8. С. 55–58.

9.   Шпаков В.В., Воробьёв Н.Т. Локальные факторизации нелокальных классов Фиттинга // Дискрет. математика. 2008. Т. 20, вып. 3. С. 111–118.

10.   Lockett F.P. The Fitting class $\mathfrak{F^*}$ // Math. Z. 1974. Vol. 137, no. 2. P. 131–136. doi: 10.1007/BF01214854 .

11.   Cusack E. The join of two Fitting classes // Math. Z. 1979. Vol. 167, no. 1. P. 37–47. doi: 10.1007/BF01215242 .

12.   Beidleman J.C. On products and normal Fitting classes // Arch. Math. 1977. Vol. 28, no. 1. P. 347–356. doi: 10.1007/BF01214854 .

13.   GaschЈutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes on pure mathematics. 1979. №. 11. P. 1–100.

14.   Савельева Н.В., Воробьёв Н.Т. Максимальные по сильному $\pi$-вложению классы Фиттинга // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. 2008. №. 2(47). С. 157–168

Поступила 16.11.2017

Марцинкевич Анна Веславовна
аспирант
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова,
г. Витебск
e-mail: hanna-t@mail.ru

Воробьёв Николай Тимофеевич
доктор физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова,
г. Витебск
e-mail: vorobyovnt@tut.by

English

A.V. Martsinkevich, N.T. Vorob’ev. Products and joins of locally normal Fitting class

Let $\pi$ be a nonempty set of primes. A nontrivial Fitting class $\mathfrak{F}$ is said to be normal in the class $\mathfrak{S}_\pi$ of all finite soluble $\pi$-groups or $\pi$-normal (we write $\mathfrak{F\trianglelefteq S}_\pi$) if $\mathfrak{F\subseteq S}_\pi$ and the $\mathfrak{F}$-radical of every $\pi$-group $G$ is a $\mathfrak{F}$-maximal subgroup of $G$. If $\pi$ is the set of all primes, then $\mathfrak{F}$ is called normal. The product $\mathfrak{FH}$ of Fitting classes $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is called $\pi$-normal if $\mathfrak{FH}$ is a $\pi$-normal Fitting class. We prove the existence of $\pi$-normal products of Fitting classes factorizable by non-$\pi$-normal factors. Assume that $\mathbb{P}$ is the set of all primes, $\varnothing\neq\pi\subseteq\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ is some Fitting class of $\pi$-groups, and $\omega=\sigma(\mathfrak{F})$ is the set of all prime divisors of all groups from $\mathfrak{F}$. It is proved that if $\mathfrak{F^2=F}$ and $\mathfrak{H}$ is the class of all $\pi$-groups with central $\omega$-socle, then the product $\mathfrak{FH}$ is $\pi$-normal although each of the factors $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is not $\pi$-normal. The lattice join $\mathfrak{F\vee H}$ of Fitting classes $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is the Fitting class generated by $\mathfrak{F\cup H}$. If $\mathfrak{F\vee H}$ is a $\pi$-normal Fitting class, then $\mathfrak{F\vee H}$ is called $\pi$-normal. Let $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ be Fitting classes of $\pi$-groups. We prove that the lattice join $\mathfrak{F\vee H}$ is a $\pi$-normal Fitting class if and only if $\mathfrak{F}$ or $\mathfrak{H}$ is a $\pi$-normal Fitting class.

Keywords: $\mathfrak{F}$-radical, Fitting class, $\pi$-normal Fitting class, join of Fitting classes.

The paper was received by the Editorial Office on November 11, 2017.

Anna Veslavovna Martsinkevich. doctoral student, Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, 210038 Belarus, e-mail: hanna-t@mail.ru.

Nikolai Timofeevich Vorob’ev. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, 210038 Belarus, e-mail: vorobyovnt@tut.by.