УДК 512.542
MSC: 20D10, 20D15
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-152-157
Полный текст статьи
Работа выполнена при поддержке БРФФИ (проект Ф17М-064) и Государственной программы научных исследований Республики Беларусь “Конвергенция” (2016–2020).
Пусть $\pi$ - непустое множество простых чисел. Неединичный класс Фиттинга $\mathfrak{F}$ называют нормальным в классе $\mathfrak{S}_\pi$ всех конечных разрешимых $\pi$-групп или просто $\pi$-нормальным (обозначают $\mathfrak{F\trianglelefteq S}_\pi$), если $\mathfrak{F\subseteq S}_\pi$ и для любой $\pi$-группы $G$ ее $\mathfrak{F}$-радикал является $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппой. Если $\pi$ - множество всех простых чисел, то $\mathfrak{F}$ называют нормальным. Произведение классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ назовем $\pi$-нормальным, если $\mathfrak{FH}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга. В работе доказано существование $\pi$-нормальных произведений классов Фиттинга, факторизуемых не $\pi$-нормальными сомножителями. Пусть $\mathbb{P}$ - множество всех простых чисел, $\varnothing\neq\pi\subseteq\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ - некоторый класс Фиттинга $\pi$-групп и $\omega=\sigma(\mathfrak{F})$ - множество всех простых делителей всех групп из $\mathfrak{F}$. Установлено, что если $\mathfrak{F^2=F}$ и $\mathfrak{H}$ - класс всех $\pi$-групп, $\omega$-цоколь которых централен, то произведение $\mathfrak{FH}$ является $\pi$-нормальным, а каждый из сомножителей $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ не $\pi$-нормален. Решеточным объединением $\mathfrak{F\vee H}$ классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ называют класс Фиттинга, порожденный $\mathfrak{F\cup H}$. Если $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным классом Фиттинга, то $\mathfrak{F\vee H}$ назовем $\pi$-нормальным. Пусть $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ - классы Фиттинга $\pi$-групп. Доказано, что решеточное объединение $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным тогда и только тогда, когда хотя бы один из классов $\mathfrak{F}$ или $\mathfrak{H}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга.
Ключевые слова: $\mathfrak{F}$-радикал, класс Фиттинга, $\pi$-нормальный класс Фиттинга, объединение классов Фиттинга.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; N Y: Walter de Gruyter & Co, 1992. 891 p. (De Gruyter Expo. Math., 4.) ISBN: 978-3-11-087013-8 .
2. Blessenohl D., Gasch$\ddot{\mathrm{u}}$tz W. $\ddot{\mathrm{U}}$ber normale Schunk- und Fittingklassen // Math. Z. 1970. Vol. 118, no. 1. S. 1–8. doi: 10.1007/BF01109888 .
3. Воробьёв Н.Т., Марцинкевич А.В. Конечные $\pi$-группы с нормальными инъекторами // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 4. С. 790–797.
4. Cossey J. Products of Fitting classes // Math. Z. 1975. Vol 141, no. 3. P. 289–295. doi: 10.1007/BF01247314 .
5. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Изд. 11 / ИМ РАН. Новосибирск, 1990.
6. Vorob’ev N.T. On the factorization of local and non-local products of finite groups of non-local formations // Proc. 7th Reg. Sci. Sess. Math., Sect. Algebra and Number Theory. Kalsk (Poland), 1990. P 9–13.
7. Ведерников В.А. О локальных формациях конечных групп // Мат. заметки. 1989. Т. 46, вып. 6. С. 32–37.
8. Воробьёв Н.Т., Скиба А.Н. Локальные произведения нелокальных классов Фиттинга // Вопросы алгебры. 1995. № 8. С. 55–58.
9. Шпаков В.В., Воробьёв Н.Т. Локальные факторизации нелокальных классов Фиттинга // Дискрет. математика. 2008. Т. 20, вып. 3. С. 111–118.
10. Lockett F.P. The Fitting class $\mathfrak{F^*}$ // Math. Z. 1974. Vol. 137, no. 2. P. 131–136. doi: 10.1007/BF01214854 .
11. Cusack E. The join of two Fitting classes // Math. Z. 1979. Vol. 167, no. 1. P. 37–47. doi: 10.1007/BF01215242 .
12. Beidleman J.C. On products and normal Fitting classes // Arch. Math. 1977. Vol. 28, no. 1. P. 347–356. doi: 10.1007/BF01214854 .
13. GaschЈutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes on pure mathematics. 1979. №. 11. P. 1–100.
14. Савельева Н.В., Воробьёв Н.Т. Максимальные по сильному $\pi$-вложению классы Фиттинга // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. 2008. №. 2(47). С. 157–168
Поступила 16.11.2017
Марцинкевич Анна Веславовна
аспирант
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова,
г. Витебск
e-mail: hanna-t@mail.ru
Воробьёв Николай Тимофеевич
доктор физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова,
г. Витебск
e-mail: vorobyovnt@tut.by
English
A.V. Martsinkevich, N.T. Vorob’ev. Products and joins of locally normal Fitting class
Let $\pi$ be a nonempty set of primes. A nontrivial Fitting class $\mathfrak{F}$ is said to be normal in the class $\mathfrak{S}_\pi$ of all finite soluble $\pi$-groups or $\pi$-normal (we write $\mathfrak{F\trianglelefteq S}_\pi$) if $\mathfrak{F\subseteq S}_\pi$ and the $\mathfrak{F}$-radical of every $\pi$-group $G$ is a $\mathfrak{F}$-maximal subgroup of $G$. If $\pi$ is the set of all primes, then $\mathfrak{F}$ is called normal. The product $\mathfrak{FH}$ of Fitting classes $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is called $\pi$-normal if $\mathfrak{FH}$ is a $\pi$-normal Fitting class. We prove the existence of $\pi$-normal products of Fitting classes factorizable by non-$\pi$-normal factors. Assume that $\mathbb{P}$ is the set of all primes, $\varnothing\neq\pi\subseteq\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ is some Fitting class of $\pi$-groups, and $\omega=\sigma(\mathfrak{F})$ is the set of all prime divisors of all groups from $\mathfrak{F}$. It is proved that if $\mathfrak{F^2=F}$ and $\mathfrak{H}$ is the class of all $\pi$-groups with central $\omega$-socle, then the product $\mathfrak{FH}$ is $\pi$-normal although each of the factors $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is not $\pi$-normal. The lattice join $\mathfrak{F\vee H}$ of Fitting classes $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ is the Fitting class generated by $\mathfrak{F\cup H}$. If $\mathfrak{F\vee H}$ is a $\pi$-normal Fitting class, then $\mathfrak{F\vee H}$ is called $\pi$-normal. Let $\mathfrak{F}$ and $\mathfrak{H}$ be Fitting classes of $\pi$-groups. We prove that the lattice join $\mathfrak{F\vee H}$ is a $\pi$-normal Fitting class if and only if $\mathfrak{F}$ or $\mathfrak{H}$ is a $\pi$-normal Fitting class.
Keywords: $\mathfrak{F}$-radical, Fitting class, $\pi$-normal Fitting class, join of Fitting classes.
The paper was received by the Editorial Office on November 11, 2017.
Funding Agency:
1) Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (Grant Number Ф17М-064);
2) National Academy of Sciences of Belarus, Ministry of Education of the Republic of Belarus.
Anna Veslavovna Martsinkevich. doctoral student, Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, 210038 Belarus, e-mail: hanna-t@mail.ru.
Nikolai Timofeevich Vorob’ev. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, 210038 Belarus, e-mail: vorobyovnt@tut.by.
[References on the English button bottom right]
