В.П. Кривоколеско. О вычислении одного класса интегралов от рациональных функций с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях ... С. 123-140

УДК 517.55+519.117

MSC: 32A07, 32A26, 05A19

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-123-140

Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ № НШ-9149.2016.1 и при поддержке гранта Правительства РФ для проведения исследований под руководством ведущих ученых в Сибирском федеральном университете (договор № 14.Y26.31.0006).

В статье приведен алгоритм вычисления интегралов вида
$$\displaystyle\int_{|\xi_1|=1}\ldots\displaystyle\int_{|\xi_n|=1}\frac{f(\xi)}
{\prod \limits_{j=1}^m (a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j)^{t_j}}
\frac{d\xi_1}{\xi_1}\ldots\frac{d\xi_n}{\xi_n},$$ где интегрирование происходит по остову единичного полицилиндра в $\mathbb C^n$, функция $f(\xi)$ голоморфна в его окрестности, а $\prod_{j=1}^m (a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j)\not=0$ для точек $z=(z_1,\ldots, z_n)$ связного $n$-кругового множества $G\subset\mathbb C^n $. Для точек остова $|\xi_1|=1,\ldots,|\xi_n|=1$ множество $\{V_j\}=\{(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n:a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j=0\}$ является $n$-круговым, и взаимное расположение $n$-круговых множеств в $\mathbb C^n $ удобно изучать с помощью проекции $\pi: \mathbb C^n\rightarrow \mathbb R^n_{+}$, где $\pi(z_1,\ldots,z_n)=(|z_1|,\ldots,|z_n|)$. Связное множество $\pi(\{V_j\})$ "разбивает" $\mathbb R^n_{+} $ не более чем на $n+1$ непустых непересекающихся частей, и $\pi(G)$ принадлежит одной из них. Получается, что число вариантов взаимного расположения в $\mathbb C^n $ множеств $G$ и $\{V_1\},\ldots,\{V_m\}$, влияющих на ответ при вычислении  данного интеграла, не превосходит $(n+1)^m$. В теоремах 1 и 2 вычисляются два типа таких интегралов (два варианта).  В  работе приводится пример вычисления двойного интеграла с помощью его параметризации и применения одной из теорем.

Ключевые слова:  интегральное представление, $n$-круговое множество, комплексная гиперплоскость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1979. 366 с.

2.   Егорычев  Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 271 c.

3.   Krivokolesko V.P. Method for obtaining combinatorial identities with polynomial coefficients by the means of integral representations // Журн. Сиб. федерального ун-та. Сер. Математика и физика. 2016. Vol.  9(2). С. 192–201.

4.   Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. М.: Мир, 1967. 184 с.

5.   Хуа Р, Теплиц В. Гомологии и фейнмановские интегралы. М.: Мир, 1969. 229 с.

6.   Кривоколеско В. П. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах и некоторые комбинаторные тождества // Журн. Сиб. федерального ун-та. Сер. Математика и физика. 2009. Vol.  2(2). С. 176–188.

7.   Кривоколеско В.П., Цих А.К. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах// Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. 579–593.

8.   Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas // Advances in Math. 2000. Vol. 151. P. 45–70.

9.   Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.

10.   Tsikh A. K. Multidimensional residues and their applications. Providence: Amer. Math. Soc., 1992. 188 p. ISBN: 978-0-8218-4560-8 .

Поступила 9.10.2017

Кривоколеско Вячеслав Павлович
канд. физ.- мат. наук, доцент
доцент
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск
e-mail: krivokolesko@gmail.com

English

V.P. Krivokolesko. On computing a class of integrals of rational functions with parameters and singularities on complex hyperplanes.

We give an algorithm for computing the integral
$$\displaystyle\int_{|\xi_1|=1}\ldots\displaystyle\int_{|\xi_n|=1}\frac{f(\xi)}{
\prod \limits_{j=1}^m (a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j)^{t_j}}\cdot
\frac{d\xi_1}{\xi_1}\ldots\frac{d\xi_n}{\xi_n},$$
where the integration set is the distinguished boundary of the unit polydisk in $\mathbb C^n$, the function $f(\xi)$ is holomorphic in a neighborhood of this set, and $\prod_{j=1}^m (a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j)\not=0$ for points $z=(z_1,\ldots, z_n)$ of a connected $n$-circular set $G\subset\mathbb C^n $. For points of the distinguished boundary, whose coordinates satisfy the relations $|\xi_1|=1$, $\ldots$, $|\xi_n|=1$, the sets $\{V_j\}=\{(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n\colon a_{j,1}z_1 \xi_1+\ldots+a_{j,n}z_n \xi_n+c_j=0\}$ are $n$-circular, and it is convenient to study their mutual arrangement in $\mathbb C^n$ by using the projection $\pi\colon \mathbb C^n\rightarrow \mathbb R^n_{+}$, where $\pi(z_1,\ldots,z_n)=(|z_1|,\ldots,|z_n|)$. A connected set $\pi(\{V_j\})$ divides $\mathbb R^n_+$ into at most $n+1$ disjoint nonempty parts, and $\pi(G)$ belongs to one of them. Therefore the number of variants of the mutual arrangement of the sets $G$ and $\{V_1\},\ldots,\{V_m\}$ in $\mathbb C^n$, which influences the value of the integral, does not exceed $(n+1)^m$. In Theorems 1 and 2 we compute the integral for two of these variants. An example of computing a double integral by applying its parameterization and one of the theorems is given.

Keywords: integral representation, $n$-circular domain, complex plane.

The paper was received by the Editorial Office on October 9, 2017.

Viacheslav Pavlovich Krivokolesko, Cand. Sci. ( Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: krivokolesko@gmail.com.