А.Ю. Веснин, Т. А. Козловская. Многообразия Брискорна,обобщенные группы Сирадски и накрытия линзовых пространств ... С. 85-97

УДК 514.132+515.162

MSC: 57M05, 20F05, 57M50

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-85-97

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант N 15-01-07906).

Многообразие Брискорна $\mathscr  B(p,q,r)$ является $r$-листным  разветвленным циклическим накрытием трехмерной сферы $S^{3}$ с ветвлением вдоль торического узла $T(p,q)$. Обобщенными группами Сирадски $S(m,p,q)$ называют группы с $m$-циклическим представлением $G_{m}(w)$, где слово $w$ имеет специальный вид, зависящий от $p$ и $q$. В частности, $S(m,3,2) = G_{m}(w)$ есть группа с $m$ порождающими $x_{1}, \ldots, x_{m}$ и $m$ определяющими соотношениями $w(x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2})=1$, где $w(x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}) = x_{i} x_{i+2} x_{i+1}^{-1}$. Циклические представления групп $S(2n,3,2)$ в виде $G_{n}(w)$ исследовались Дж. Хоуи и Г. Вильямсом: они показали, что $n$-циклические представления являются геометрическими, то есть соответствуют спайнам замкнутых трехмерных многообразий. В данной работе аналогичный факт устанавливается для групп $S(2n,5,2)$.  Показано, что в обоих случаях многообразия являются  $n$-листными разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств. Для классификации некоторых из построенных многообразий была использована разработанная С.В. Матвеевым компьютерная программа "Распознаватель".

Ключевые слова: трехмерное многообразие, многообразие Брискорна, группа с циклическим представлением, группа Сирадски, линзовое пространство, разветвленное накрытие.

Список литературы

1.   Brieskorn E.. Beispiele zur Differentialtopologie von SingularitЈaten // Invent. Math. 1966. Vol. 2, no. 1. P. 1–14. doi: /10.1007/BF01403388 . Рус. пер.: Е. Брискорн. Примеры из дифференциальной топологии многообразий с особенностями // Математика. 1967. Vol. 11, № 6. C. 133–144.

2.   Cavicchioli A., Hegenbarth F., Kim A. On cyclic branched coverings of torus knots // J. Geometry. 1999. Vol. 64. P. 55–66. doi: 10.1007/BF01229212 .

3.   Howie J., Williams G. Fibonacci type presentations and 3-manifolds // Topology Appl. 2017. Vol. 215. P. 24–34. doi: 10.1016/j.topol.2016.10.012 .

4.   Hempel J. 3-manifolds. Princeton; N.J.: Princeton University Press. 1976. 195 p. (Annals Math. Studies; vol. 86). ISBN 978-0-8218-3695-8 .

5.   Matveev S. Algorithmic topology and classi cation of 3-manifolds. 2nd ed. Berlin: Springer, 2007. 492 p. (Algorithms Comput. Math.; vol. 9). doi: 10.1007/978-3-540-45899-9 .

6.   Матвеев С.В. Табулирование трехмерных многообразий // Успехи мат. наук. 2005. Vol. 60, no. 4. P. 97–122.

7.   Three-manifold Recognizer / The computer program developed by the research group of S. Matveev in the department of computer topology and algebra of Chelyabinsk State University.

8.   Weber C., Seifert H. Die Beiden DodekaederЈaume // Math. Z. 1933. Vol. 37. 237–253. doi: 10.1007/BF01474572 .

9.   Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Успехи мат. наук. 1988. Vol. 43, № 1. P. 5–22.

10.   Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds. Thesis (Ph.D.)–Princeton University. Princeton: Princeton University, 1985. 83 p.

11.   Mednykh A., Vesnin A. Visualization of the isometry group action on the Fomenko–Matveev–Weeks manifold // J. Lie Theory. 1998. Vol. 8, no. 1. 1998. P. 51–66.

12.   Helling H., Kim A., Mennicke J. A geometric study of Fibonacci groups // J. Lie Theory. 1998. Vol. 8, no. 4. P. 1–23.

13.   Sieradski A.J. Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups // Invent. Math. 1986. Vol. 84. P. 121–139.

14.   Milnor J. Singular points of complex hypersurfaces. Princeton: Princeton University Press and Tokyo University Press, 1968. 130 p. (Annals of Mathematics Studies). ISBN: 9781400881819 .

Рус. пер.: Дж. Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. M.: Мир, 1971. 126 c.

15.   Milnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M(p,q,r) // Knots, Groups and 3-Manifolds / ed. L. P. Neuwirth. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1975. P. 175–225. (Ann. of Math. Studies; vol. 84).

16.   Johnson D. Topics in the theory of group presentations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980. 320 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 42). ISBN: 978-0-521-23108-4 .

17.   Бардаков В.Г., Веснин А.Ю. Об обобщении групп Фибоначчи // Алгебра и логика. 2003. Vol. 42, no. 2. P. 131–160.

18.   Maclachlan C. Generalizations of Fibonacci numbers, groups and manifolds // Combinatorial and Geometric Group Theory (Edinburgh, 1993). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. P. 233–238. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 204). ISBN: 0521465958 .

19.   Johnson D.J., Wamsley J.W., Wright D. The Fibonacci groups // Proc. London Math. Soc. 1974. Vol. s3-29, no. 4. P. 577–592. doi: 10.1112/plms/s3-29.4.577 .

20.   Szczepanski A. High dimensional knot groups and HNN extensions of the Fibonacci groups // J. Knot Theory Ramifications. 1998. Vol. 7, no. 4. P. 503–508. doi: 10.1142/S0218216598000267 .

21.   Campbell C.M., Robertson E.F. A class of finitely presented groups of Fibonacci type // J. London Math. Soc. 1975. Vol. s2-11, no. 2. P. 249–255. doi: 10.1112/jlms/s2-11.2.249 .

22.   Szczepanski A., Vesnin A. On generalized Fibonacci groups with odd number of generators // Communications in Algebra. 2000. Vol. 28, no. 2. P. 959–965. doi: 10.1080/00927870008826872 .

23.   Szczepanski A., Vesnin A. Generalized Neuwirth Groups and Seifert fibered manifolds // Algebra Colloquium. 2000. Vol. 7, no. 3. P. 295–303. doi: 10.1007/s10011-000-0295-7 .

24.   Neuwirth L. An algorithm for the construction of 3-manifolds from 2-complexes // Proc. Camb. Philos. Soc. 1968. Vol. 64. P. 603–613. doi: 10.1017/S0305004100043279 .

25.   Johnson D.L., Mawdesley H. Some groups of Fibonacci type // J. Aust. Math. Soc. 1975. Vol. 20, no. 2. P. 199–204. doi: 10.1017/S1446788700020498 .

26.   Gilbert N., Howie J. LOG groups and cyclically presented groups // J. Algebra. 1995. Vol. 174, no. 1. P. 118–131. doi: 10.1006/jabr.1995.1119 .

27.   Kim A.C., Vesnin A. Cyclically presented groups and Takahashi manifolds // Analysis of discrete groups, II (Kyoto, 1996). RIMS Kokyuroku No. 1022. 1997. P. 200–212.

28.   Singer J. Three-dimensional manifolds and their Heegaard diagrams // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. Vol. 35, no. 1. P. 88–111. doi: 10.1090/S0002-9947-1933-1501673-5 .

29.   Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М.: Изд-во ОНТИ, 1938. 400 с.

Поступила 07.08.2017

Веснин Андрей Юрьевич 
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
зав. лабораторией
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
профессор
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск
e-mail: vesnin@math.nsc.ru

Козловская Татьяна Анатольевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Магаданский институт экономики,
г. Магадан
e-mail: konus_magadan@mail.ru

English

A.Yu. Vesnin, T.A. Kozlovskaya. Brieskorn manifolds, generated Sieradski groups, and coverings of lens space.

The Brieskorn manifold $\mathscr  B(p,q,r)$ is the $r$-fold cyclic covering of the three-dimensional sphere $S^{3}$ branched over the torus knot $T(p,q)$. The generalised Sieradski groups $S(m,p,q)$ are groups with $m$-cyclic presentation $G_{m}(w)$, where the word $w$ has a special form depending on $p$ and $q$. In particular, $S(m,3,2)=G_{m}(w)$ is the group with $m$ generators $x_{1},\ldots,x_{m}$ and $m$ defining relations $w(x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2})=1$, where  $w(x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}) = x_{i} x_{i+2} x_{i+1}^{-1}$. Cyclic presentations of $S(2n,3,2)$ in the form  $G_{n}(w)$ were investigated by Howie and Williams, who showed that the $n$-cyclic presentations are geometric, i.e., correspond to the spines of closed three-dimensional manifolds. We establish an analogous result for the groups $S(2n,5,2)$. It is shown that in both cases the manifolds are $n$-fold branched cyclic coverings of lens spaces. For the classification of the constructed manifolds, we use Matveev's computer program "Recognizer".

Keywords: three-dimensional manifold, Brieskorn manifold, cyclically presented group, Sieradski group, lens space, branched covering.

The paper was received by the Editorial Office on August 7, 2017.

Andrei Yur’evich Vesnin, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia,
e-mail: vesnin@math.nsc.ru

Tat’yana Anatol’evna Kozlovskaya, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Magadan Institute of Economics, Magadan, 685000 Russia,
e-mail: konus_magadan@mail.ru