Б.М. Веретенников.О коммутантах конечных 2-групп, порожденных инволюциями ... С. 77-84

УДК 512.54

MSC: 20D15

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-77-84

Для конечной группы $G$ минимальное число порождающих обозначается через $d(G)$. Под $G'$ мы понимаем коммутант группы $G$. А.Д. Устюжанинов в 1975 г. опубликовал без доказательства список конечных 2-групп, порожденных тремя инволюциями, с элементарным абелевым коммутантом. В частности, $d(G') \leq 5$ для такой группы $G$. В продолжение этой темы интересно классифицировать все конечные 2-группы, порожденные $n$ инволюциями (для любого $n \geq 2$), с элементарным абелевым коммутантом. В статье доказывается, что если конечная 2-группа $G$ порождается $n$ инволюциями и $d(G)=n$, то

$$d(G') \leq \left(\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}\right) + 2 \left(\begin{array}[c]{c}n\\3\\\end{array}\right) + \dots + (n-1) \left(\begin{array}[c]{c}n\\n\\\end{array}\right),$$

для любого $n \geq 2$, причем верхняя граница достигается. Кроме того, для любого $n \geq 2$ строится конечная 2-группа, порожденная $n$ инволюциями с элементарным абелевым коммутантом ранга

$$\left(\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}\right) +2 \left(\begin{array}[c]{c}n\\3\\\end{array}\right) + \dots + (n-1) \left(\begin{array}[c]{c}n\\n\\\end{array}\right).$$
Метод построения этой группы аналогичен методу, используемому автором в ряде работ для построения конечных групп Альперина. Мы получим нашу группу как последовательное полупрямое произведение групп порядка 2. Приводится также пример бесконечной 2-группы, порожденной инволюциями, с бесконечным элементарным абелевым коммутантом, полученным из построенных конечных 2-групп.

Ключевые слова: 2-группа, порождение инволюциями, коммутант группы.

Список литературы

1.   Устюжанинов А.Д. Конечные 2-группы, порожденные точно тремя инволюциями. // Всесоюз. алгебр. симпозиум (1975): тез. докл. Ч. I. Гомель, 1975. С. 72.

2.   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977. 240 c.

3.   Веретенников Б.М. О конечных 2-группах Альперина с циклическими вторыми коммутантами // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 3. С. 326–350.

Поступила 10.04.2017

Веретенников Борис Михайлович 
канд. физ.-мат .наук, доцент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург,
e-mail: boris@veretennikov.ru

English

B.M. Veretennikov. On the commutator subgroups of finite 2-groups generated by involutions.

For a finite group $G$ we denote by $d(G)$ the minimum number of its generators and by $G'$ the commutator group of $G$. Ustyuzhaninov published without proof the list of finite 2-groups generated by three involutions with elementary abelian commutator subgroup. In particular, $d(G') \leq 5$ for such a group $G$. Continuing this research, we pose the problem of classifying all finite 2-groups generated by $n$ involutions (for any $n\geq 2$) with elementary abelian commutator subgroup. For a finite 2-group $G$ generated by $n$ involutions with $d(G)=n$, we prove that
$$d(G') \leq \left(\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}\right) + 2 \left(\begin{array}[c]{c}n\\3\\ \end{array}\right) + \dots + (n-1) \left(\begin{array}[c]{c}n\\n\\ \end{array}\right)$$
for any $n \geq 2$ and that the upper bound is attainable. In the first section we establish the inequality for $d(G')$, and in the second section we construct for any $n \geq 2$ a finite 2-group generated by $n$ involutions with elementary abelian commutator subgroup of rank
$$\left(\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}\right) + 2 \left(\begin{array}[c]{c}n\\3\\\end{array}\right) + \dots + (n-1) \left(\begin{array}[c]{c}n\\n\\\end{array}\right).$$
The method of constructing this group $G$ is similar to the method used by the author in a number of papers for the construction of Alperin's finite groups. Using the known theorem on cyclic extensions, we obtain $G$ as the consecutive semidirect product of groups of order 2. In the end of the paper, we give an example of an infinite 2-group generated by involutions with infinite elementary abelian commutator; the example is obtained from the constructed finite 2-groups.

Keywords: 2-group, generation by involutions, commutator subgroup.

The paper was received by the Editorial Office on April 10, 2017.

Boris Mihajlovich Veretennikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: boris@veretennikov.ru