Н.В. Абросимов, Б. Выонг Хыу. Объем гиперболического тетраэдра с группой симметрий $S_4$ ... C. 7-17

УДК 514.132

MSC: 52B15, 51M20, 51M25, 51M10

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-7-17

Полная версия статьи

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00414) и Совета по грантам Президента РФ (проект МК-9572.2016.1).

Задача вычисления объема гиперболического тетраэдра общего вида была ранее решена в работах Г. Сфорца и других авторов. При этом, полученные формулы имеют достаточно громоздкий вид. Известно, что если многогранник имеет нетривиальную симметрию, то формула его объема существенно упрощается. Этот факт был обнаружен Лобачевским, который нашел объем идеального тетраэдра. Позже Дж. Милнор выразил соответствующий объем как сумму трех функций Лобачевского.
В данной работе рассматриваются компактные гиперболические тетраэдры, имеющие группу симметрий $S_4$, которая порождается зеркально поворотной симметрией четвертого порядка. Указанная симметрия представляет собой композицию поворота на угол $\pi/2$ вокруг оси, проходящей через середины двух противолежащих ребер, и отражения относительно плоскости, перпендикулярной данной оси и проходящей через середины оставшихся четырех ребер. Для таких тетраэдров установлены необходимые и достаточные условия существования в гиперболическом пространстве $\mathbb{H}^3$. Найдены соотношения между их двугранными углами и длинами ребер в форме теоремы косинусов. Получены точные интегральные формулы, выражающие гиперболический объем указанных тетраэдров через длины ребер.

Ключевые слова: гиперболический тетраэдр, группа симметрий, зеркальный поворот, гиперболический объем.
 

Список литературы

1.   Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43, № 1. С. 5–22.

2.   Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds. Ph. D. Thesis. Princeton: Princeton University, 1985.

3.   Thurston W.P. The Geometry and topology of three-manifolds. Lecture Notes. Princeton: Princeton University, 1980. 502 p.

4.   Gabai D., Meyerhoff R., Milley P. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds // J. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 22. P. 1157–1215.

5.   Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 6, iss. 1. P. 9–24.

6.   Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Disc. Comp. Geom. 1999. Vol. 22. P. 347–366.

7.   Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. 2005. Vol. 13. P. 379–200.

8.   Ushijima A. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // Non-Euclidean geometries / eds. A. Prekopa, E. Molnar. 2006. P. 249–265. (Mathematics and Its Applications, vol. 581).

9.   Деревнин Д.А., Медных А.Д. О формуле объема гиперболического тетраэдра // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, № 2. С. 159–160.

10.   Sforza G. Ricerche di estensionimetria differenziale negli spazi metrico-projettivi // Modena Mem. Acc. 1906. Ser. III, VIII (Appendice). P. 21–66 (in Italian).

11.   Abrosimov N.V., Mednykh A.D. Volumes of polytopes in spaces of constant curvature // Rigidity and Symmetry / eds. R. Connelly, A. Ivic Weiss , W. Whiteley. N. Y.: Springer, 2014. P. 1–26. (Fields Institute Communications; vol. 70). doi: 10.1007/978-1-4939-0781-6_1 .

12.   Абросимов Н.В., Кудина Е.С., Медных А.Д. Об объеме гиперболического октаэдра, допускающего 3-симметрию // Тр. МИАН. 2015. Т. 288. С. 7–15. doi: 10.1134/S037196851501001X .

13.   Johnson N.W. Geometries and transformations. Cambridge: Cambridge University Press, 2017. 350 p. ISBN-10: 1107103401 .

14.   Понарин Я.П. Элементарная геометрия: в 2-х томах. Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. М.: МЦНМО, 2015. 256 с.

15.   Винберг Э.Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики. ВИНИТИ (Итоги науки и техники). Т. 29. 1988. 268 с.

Поступила 15.06.2017

Абросимов Николай Владимирович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск
e-mail: abrosimov@math.nsc.ru

Выонг Хыу Бао
ведущий инженер
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
Новосибирский государственный университет,
г. Новосибирск
e-mail: vuonghuubao@live.com

English

N. V. Abrosimov, Vuong Huu Bao. The volume of a hyperbolic tetrahedron with symmetry group S₄.

The problem of calculating the volume of a hyperbolic tetrahedron of general form was solved in a number of works by G. Sforza and other authors. The formulas obtained are rather cumbersome. It is known that if a polyhedron has nontrivial symmetry, then the volume formula is essentially simplified. This phenomenon was discovered by Lobachevsky, who found the volume of an ideal tetrahedron. Later, J. Milnor expressed the corresponding volume as the sum of three Lobachevsky functions. In this paper we consider compact hyperbolic tetrahedra having the symmetry group $S_4$, which is generated by a mirror-rotational symmetry of the fourth order. The latter symmetry is the composition of rotation by the angle of $\pi/2$ about an axis passing through the middles of two opposite edges and reflection with respect to a plane perpendicular to this axis and passing through the middles of the remaining four edges. We establish necessary and sufficient conditions for the existence of such tetrahedra in $\mathbb{H}^3$. Then we find relations between their dihedral angles and edge lengths in the form of a cosine law. Finally, we obtain exact integral formulas expressing the hyperbolic volume of the tetrahedra in terms of the edge lengths.

Keywords: hyperbolic tetrahedron, symmetry group, reflection followed by a rotation, hyperbolic volume.

The paper was received by the Editorial Office on June 15, 2017.

Nikolai Vladimirovich Abrosimov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia,
e-mail: abrosimov@math.nsc.ru

Vuong Huu Bao, Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia,
e-mail: vuonghuubao@live.com