А.А. Акимова, С.В. Матвеев, В.В. Таркаев. Классификация зацеплений малой сложности в утолщенном торе ... С. 18-31

УДК: 515.162

MSC: 57M99

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-18-31

Полная версия статьи

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-01-00690).

В работе приводится полная таблица зацеплений в утолщенном торе $T^2 \times I$, минимальные диаграммы которых имеют не более $4$ перекрестков. Метод построения таблицы заключается в следующем. Сначала перебираются все абстрактные четырехвалентные графы с не более чем 4 вершинами. Затем рассматриваются все неэквивалентные вложения этих графов в тор $T^2$. После этого каждая вершина каждого из полученных графов заменяется на перекресток одного из двух возможных типов, когда один участок графа проходит ниже или выше другого. Слова "выше" и "ниже" понимаются в смысле величины координаты соответствующей точки отрезка $I$. В результате этого процесса получается набор диаграмм зацеплений в $T^2 \times I$. Предложен ряд искусственных приемов, позволивших существенно сократить этот перебор и строго доказать полноту построенной таблицы. Различность полученных зацеплений доказывается с помощью обобщения полинома Кауффмана.

Ключевые слова: зацепление, утолщенный тор, таблица зацеплений.

Список литературы

1.   Дроботухина Ю. В. Аналог многочлена Джоунса для зацеплений в $RP^3$ и обобщение теоремы Кауффмана - Мурасуги // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 3. С. 171-191.

2.   Miyazaki Katura. Conjugation and prime decomposition of knots in closed, oriented $3$-manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 313, no. 2. P. 785-804.

3.   Gabrovsek Bostjan. Tabulation of prime knots in lens spaes // Mediterr. J. Math. 2017. Vol. 14, no. 2. Art. 88. 24 p.

4.   Costantino F. Colored Jones invariants of links in $\#_k S^2\times S^1$ and the Volume Conjecture // J. Lond. Math. Soc. (2). 2007. Vol. 76, no. 2. P. 1-15.

5.   Kuperberg G. What is a virtual link? // Algebr. Geom. Topol. 2003. Vol. 3. P. 587-591.

6.   Матвеев С.В. Разложение гомологически тривиальных узлов в $F\times I$ // Докл. АН. 2010. Т. 433, № 1. C. 13-15.

7.   Turaev V. Cobordism of knots on surfaces // J. Topol. 2008. Vol. 1, no. 2. P. 285-305.

8.   Adams Colin, Fleming Thomas, Levin Michael, Turner Ari M. Crossing number of alternating knots in $S \times I$ // Pacific J. Math. 2002. Vol. 203, no. 1. P. 1-22.

9.   Kauffman L.H. State models and the Jones polynomial // Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. P. 395-407.

10.   Dye H. A., Kauffman, Louis H. Minimal surface representations of virtual knots and links // Algebr. Geom. Topol. 2005. Vol. 5. P. 509-535.

11.   Akimova A.A., Matveev S.V. Classification of genus 1 virtual knots having at most five classical crossings // J. Knot Theory Ramifications. 2014. Vol. 23, no. 6, 1450031. 19 p.

12.   Акимова А.А., Матвеев С.В. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе // Вестн. НГУ. Сер. "Математика. Механика. Информатика". 2012. Т. 12, № 3. С. 10-21.

13.   Акимова А.А. Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрестков // Вестн. ЮУрГУ. Сер. "Математика. Механика. Физика". 2013. Т. 5. № 1. С. 8-11.

14.   Акимова А.А. Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат в кольце // Вестн. ЮУрГУ. Сер. "Математика. Механика. Физика". 2015. Т. 7, № 1. С. 5-10.

15.   Matveev S.V. Prime decompositions of knots in $T\times I$ // Topol. Appl. 2011. Vol. 159, no. 7. P. 1820-1824.

16.   Korablev Ph., Matveev S.V. Reductions of knots in thickened surfaces and virtual knots // Dokl. Math. 2011. Vol. 83, no. 2. P. 262-264.

17.   SnapPy 2.5.4 documentation [e-recource]. URL: http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy.

18.   Burton B. The pachner graph and the simplification of 3-sphere triangulations //Proc. of the Twenty-seventh annual symposium on computational geometry (SCG'11). New York: ACM, 2011. P. 153-162.

19.   Atlas of 3-Manifolds [site] / Laboratory of Quantum Topology of Chelyabinsk State University. URL: http://www.matlas.math.csu.ru.

Поступила 31.08.2017

Акимова Алена Андреевна 
канд. физ.-мат. наук
Южно-Уральский государственный университет, Челябинск
e-mail: akimovaaa@susu.ru

Матвеев Сергей Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор, академик РАН
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, Екатеринбург
Челябинский государственный университет, Челябинск
e-mail: matveev@csu.ru

Таркаев Владимир Викторович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, Екатеринбург
старший науч. сотрудник
Челябинский государственный университет, Челябинск
e-mail: v.tarkaev@gmail.com

English

A.A. Akimova, S.V. Matveev, V.V. Tarkaev. Classification of links of small complexity in a thickened torus.

The paper contains the table of links in the thickened torus $T^2\times I$ admitting diagrams with at most four crossings. The links are constructed by a three-step process. First we enumerate all abstract regular graphs of degree 4 with at most four vertices. Then we consider all nonequivalent embeddings of these graphs into $T^2$. After that each vertex of each of the obtained graphs is replaced by a crossing of one of the two possible types, when a segment of the graph lies lower or above another segment. The words "above" and "lower" are understood in the sense of the coordinate of the corresponding point in the interval $I$. As a result, we obtain a family of diagrams of knots and links in $T^2 \times I$. We propose a number of artificial tricks that essentially reduce the enumeration and offer a rigorous proof of the completeness of the table. A generalized version of the Kauffman polynomial is used to prove that all the links are different.

Keywords: link, thickened torus, link table.

The paper was received by the Editorial Office on October 9, 2017.

Alena Andreevna Akimova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), South Ural State University, Chelyabinsk,
454080 Russia, e-mail: akimovaaa@susu.ru .

Sergei Vladimirovich Matveev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., RAS Academician, Krasovskii Institute
of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg,
620990 Russia; Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: matveev@csu.ru .

Vladimir Viktorovich Tarkaev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Chelyabinsk State University, Chelyabinsk,
454001 Russia, e-mail: v.tarkaev@gmail.com.