А.В. Тетенов, М. Самуэль, Д.А. Ваулин. О дендритах, заданных системами полиэдров, и их точках ветвления ... С. 281-291

УДК: 514.8, 515.12

MSC: 28A80

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-281-291

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00414).

В статье изучаются методы задания и геометрические свойства самоподобных дендритов в пространстве $\mathbb R^d$ — вопросы, еще не разработанные в теории самоподобных фракталов. Для этого строится и исследуется класс $P$-полиэдральных дендритов в $\mathbb R^d$. Такие дендриты $K$ мы определяем как аттракторы систем $S=\{S_1, \ldots, S_m\}$ сжимающих подобий в $\mathbb R^d$, переводящих заданный полиэдр $P\subset \mathbb R^d$ в полиэдры $P_i\subset P$, попарные пересечения которых либо пусты, либо одноточечны и являются общими вершинами этих полиэдров, а гиперграф попарных пересечений полиэдров $P_i$ ацикличен. Мы доказываем, что для счетного плотного в $K$ множества $G_S(V_P)$ локальная структура окрестности всякой его точки $x$ задается некоторым набором непересекающихся телесных углов с вершиной в $x$, конгруэнтных углам при вершинах $P$. Из этого утверждения мы получаем, что все точки ветвления $P$-полиэдрального дендрита $K$ имеют конечный порядок, верхняя оценка которого зависит только от полиэдра $P$. Нами доказано, что геометрия и размерность множества $CP(K)$ разбивающих точек дендрита $K$ определяются его главным деревом — минимальным подконтинуумом в $K$, содержащим все вершины $P$, а потому размерность $\dim_HCP(K)$ множества $CP(K)$ меньше размерности $\dim_H(K)$ дендрита $K$ и совпадает с последней тогда и только тогда, когда $K$ — жорданова дуга.

Ключевые слова: самоподобное множество, дендрит, полиэдральная система, главное дерево, точка ветвления, хаусдорфова размерность.

Список литературы

1.   Асеев В.В., Тетенов А.В., Кравченко А.С. О самоподобных жордановых кривых на плоскости // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, №3. С. 481–492.

2.   Bandt C., Keller K. Self-similar sets 2. A simple approach to the topological structure of fractals // Math. Nachrichten. 1991. Vol. 154. P. 27–39. doi: 10.1002/mana.19911540104 .

3.   Bandt C., Stahnke J. Self-similar sets 6. Interior distance on deterministic fractals: preprint. Greifswald, 1990.

4.   Barnsley M.F. Fractals everywhere. Boston: Acad. Press, 1988. 396 p. ISBN: 0-12-079062-9 .

5.   Charatonik J., Charatonik W. Dendrites // Aportaciones Mat. Comun. 1998. Vol. 22. P. 227–253.

6.   Croydon D. Random fractal dendrites. Ph.D. Thesis, St. Cross College, University of Oxford. Trinity, 2006. 161 p.

7.   Hata M. On the structure of self-similar sets // Japan. J. Appl. Math. 1985. Vol. 3. P. 381–414. doi: 10.1007/BF03167083 .

8.   Kigami J. Harmonic calculus on limits of networks and its application to dendrites // J. Funct. Anal. 1995. Vol. 128, no. 1. P. 48–86. doi: 10.1006/jfan.1995.1023 .

9.   Kigami J. Analysis on fractals. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2001, 226 p. (Cambridge Tracts in Math.; vol. 143). ISBN: 0-521-79321-1 .

10.   Strichartz R. S. Isoperimetric estimates on Sierpinski gasket type fractals // Trans. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 351. P. 1705–1752. doi: 10.1090/S0002-9947-99-01999-6 .

11.   Тетенов А.В. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, №5. С. 1147–1159.

12.   Тетенов А.В. Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов : дис. … д-ра физ.-мат. наук. Горно-Алтайск, 2010. 216 с.

13.   Zeller. R. Branching dynamical systems and slices through fractals. Ph.D. Thesis. University of Greifswald, 2015.

Поступила 27.06.2017

Тетенов Андрей Викторович 
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры математики и методики преподавания математики
Горно-Алтайского госуниверситета
e-mail: atet@mail.ru

Самуэль Мери
Бхарата Мата Колледж
Кочин, Керала, Индия
e-mail: marysamuel2000@gmail.com

Ваулин Дмитрий Алексеевич
ст. преподаватель кафедры математики и методики преподавания математики
Горно-Алтайского госуниверситета
e-mail: d_warrant@mail.ru

English

A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vaulin. On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points.

The methods of construction of self-similar dendrites in $\mathbb R^d$ and their geometric properties are considered. These issues have not yet been studied in the theory of self-similar fractals. We construct and analyze a class of $P$-polyhedral dendrites $K$ in $\mathbb R^d$, which are defined as attractors of systems $S=\{S_1, \ldots, S_m\}$ of contracting similarities in $\mathbb R^d$ sending a given polyhedron $P$ to polyhedra $P_i\subset P$ whose pairwise intersections either are empty or are singletons containing common vertices of the polyhedra, while the hypergraph of pairwise intersections of the polyhedra $P_i$ is acyclic. We prove that there is a countable dense subset $G_S(V_P)\subset K$ such that for any of its points $x$ the local structure of a neighbourhood of $x$ in $K$ is defined by some disjoint family of solid angles with vertex $x$ congruent to the angles at the vertices of $P$. Therefore, the ramification points of a $P$-polyhedral dendrite $K$ have finite order whose upper bound depends only on the polyhedron $P$. We prove that the geometry and dimension of the set $CP(K)$ of the cutting points of $K$ are defined by its main tree, which is a minimal continuum in $K$ containing all vertices of $P$. That is why the dimension $\dim_HCP(K)$ of the set $CP(K)$ is less than the dimension $\dim_H(K)$ of $K$ and $\dim_HCP(K)=\dim_H(K)$ if and only if $K$ is a Jordan arc.

Keywords: self-similar set, dendrite, polyhedral system, main tree, ramification point, Hausdorff dimension.

The paper was received by the Editorial Office on June 27, 2017

Andrei Viktorovich Tetenov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Gorno-Altaisk State University, Gorno-
Altaisk, 649000 Russia, e-mail: atet@mail.ru .

Mary Samuel, Department of Mathematics, Bharata Mata College, Kochi, India,
e-mail: marysamuel2000@gmail.com.

Dmitrii Alekseevich Vaulin, Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, 649000 Russia,
e-mail: d_warrant@mail.ru .