УДК: 512.562, 515.124.4
MSC: 06A06, 54H25, 54E40
DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-292-300
Полная версия статьи
В топологии известны результаты о сохранении в процессе гомотопии свойства отображения некоторых пространств в себя иметь неподвижную точку, если число Лефшеца исходного отображения отлично от нуля. Для класса сжимающих отображений метрических пространств и некоторых их обобщений известны результаты М. Фригон о сохранении при гомотопиях некоторого специального типа свойства сжимаемости отображения и, следовательно, свойства иметь неподвижную точку. В 1984 г. Дж. Уолкер предложил дискретный аналог гомотопии отображений упорядоченного множества - порядковую изотонную гомотопию. P. Стонг показал естественность такого понятия и связь его с обычной непрерывной гомотопией. Недавно автор и Д.А. Подоприхин обобщили понятие порядковой изотонной гомотопии Уолкера и нашли достаточные условия для сохранения в процессе такой дискретной гомотопии (пары гомотопий) свойства отображения (пары отображений) упорядоченных множеств иметь неподвижную точку (точку совпадения). Данная статья содержит метрические аналоги этих результатов и некоторые их следствия. Используется метод упорядочения метрического пространства, предложенный в 1974 г. А. Брондстедом.
Ключевые слова: неподвижная точка, точка совпадения, порядок Брондстеда, порядковая гомотопия, дискретный аналог гомотопии.
Список литературы
1. On continuation methods for contractive and nonexpansive mappings // Recent Advances on Metric Fixed Point Theory. Sevilla: Universidad de Sevilla, 1996. P. 19-29.
2. Подоприхин Д.А., Фоменко Т.Н. Сохранение свойства неподвижной точки и свойства совпадения при гомотопии отображений упорядоченных множеств // Докл. АН. 2017. Т. 477, № 4. C. 402-405. doi: 10.7868/S0869565217340035.
3. Brondsted A. On a lemma of Bishop and Phelps // Pacific J. Math. 1974. vol. 55, no. 2. P. 335-341.
4. Walker J.W. Isotone relations and the fixed point property for posets // Discr. Math. 1984. Vol. 48, no. 2-3. P. 275-288. doi:10.1016/0012-365X(84)90188-2.
5. Stong R.E. Finite topological spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 123, no. 2. P. 325-340.
6. Handbook of metric fixed point theory / eds. W.A. Kirk, B. Sims. NY: Springer Science & Business Media, 2001. 704 p. doi: 10.1007/978-94-017-1748-9.
7. Подоприхин Д.А., Фоменко Т.Н. О совпадениях семейств отображений упорядоченных множеств // Докл. РАН. Математика. 2016. Т. 471, № 1. C. 16-18. doi: 10.7868/S0869565216310054.
8. Fomenko T.N., Podoprikhin D. Common fixed points and coincidences of mapping families on partially ordered set // Topology Appl. 2017. Vol. 221. P. 275-285. doi: 10.1016/j.topol.2016.07.024.
9. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Докл. РАН. 2013. Т. 88, № 3. C. 710-713.
10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., and Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology Appl. 2015. Vol. 179. P. 13-33.
11. Fomenko T.N., Podoprikhin D.A. Fixed points and coincidences of mappings of partially ordered sets // J. Fixed Point Theory Appl. 2016. Vol. 18, no. 4. P.823-842. doi: 10.1007/s11784-016-0327-7.
12. Podoprikhin D.A. Fixed points of mappings on ordered sets // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no. 6. P. 1069-1074.
Поступила 15.06.2017
Фоменко Татьяна Николаевна
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет имени М. В.Ломоносова,
г. Москва
e-mail: tn-fomenko@yandex.ru
English
T.N. Fomenko. Preservation of the existence of coincidence points under some discrete transformations of a pair of mappings of metric spaces.
In topology there are known results on the preservation under homotopy of the fixed point property of self-mappings in some spaces if the Lefschetz number of the initial mapping is nonzero. For the class of contracting mappings of metric spaces and for some of their generalizations, there are M. Frigon's known results on the preservation of the contraction property and hence of the fixed point property under homotopies of some special type. In 1984 J.W. Walker introduced a discrete counterpart of homotopy for mappings in an ordered set, which he called an order isotone homotopy. R.E. Stong showed the naturalness of this notion and its relation to the usual continuous homotopy. Recently, the author and D.A. Podoprikhin have generalized Walker's notion of order isotone homotopy and suggested sufficient conditions for the preservation under such discrete homotopy (a pair of homotopies) of the property of a mapping (a pair of mappings) of ordered sets to have a fixed point (a coincidence point). This paper contains metric counterparts of the obtained results and some corollaries. The method of ordering a metric space proposed by A. Brondsted in 1974 is used.
Keywords: fixed point, coincidence point, Brondsted's order, order homotopy, discrete counterpart of homotopy.
The paper was received by the Editorial Office on June 15, 2017
Tatiana Nikolaevna Fomenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University,
Moscow, 119991 Russia, e-mail: tn-fomenko@yandex.ru .
