Вл.Д. Мазуров, А.И. Смирнов. О структуре множества неподвижных точек разложимых монотонных субоднородных отображений ... С. 222-231

УДК: 515.126.27+517.988.523

MSC: 47N05, 37N25, 37N40

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-222-231

25 лет назад вышла первая в нашем журнале статья Владимира Даниловича:
Мазуров Вл.Д. Модели интерпретации противоречивых данных и метод комитетов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. C. 193–203.

Анализируется структура множества нетривиальных равновесий монотонной субоднородной дискретной динамической системы на неотрицательном ортанте конечномерного евклидова пространства при возможно более слабых дополнительных предположениях. При этом используется введенное авторами понятие локальной неразложимости нелинейного отображения. Показано, что необходимыми условиями существования положительных неподвижных точек монотонного субоднородного отображения, лежащих на различных лучах, выходящих из начала координат, являются разложимость отображения хотя бы в одной из них и положительная однородность части компонент отображения на содержащих положительные неподвижные точки участках этих лучей. В частности, для вогнутых отображений это означает разложимость отображения в нуле. Как следствие, получено обобщение теоремы о единственности луча, содержащего положительные неподвижные точки такого отображения, использующее в качестве дополнительного условия лишь неразложимость отображения на множестве его положительных неподвижных точек. В этом случае множество всех положительных неподвижных точек монотонного субоднородного отображения образует сплошную часть некоторого луча, выходящего из начала координат.

Ключевые слова: монотонное отображение, субоднородное отображение, локальная неразложимость отображения, неподвижные точки.

Список литературы

1.   Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. 280 с.

2.   Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 518 c.

3.   Lemmens B., Nussbaum R.D. Nonlinear Perron-Frobenius Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012. 323p. (Cambridge Tracts in Math.; vol. 189).

4.   Krause U. Positive dynamical systems in discrete time: theory, models and applications. Berlin; Munich; Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2015. 363 p.

5.   Смирнов А.И. Равновесие и устойчивость субоднородных монотонных дискретных динамических систем. Екатеринбург: Изд-во УИЭУиП, 2016. 318 с.

6.   Смирнов А.И. Субоднородные монотонные отображения в мультипликативной и аддитивной нелинейной теории Перрона - Фробениуса // Вестн. УИЭУиП. 2016. № 2(35). С. 8-25.

7.   Смирнов А.И. Субоднородные отображения в теории монотонных динамических систем // Вестн. УИЭУиП. 2016. № 1 (34). С.68-80.

8.   Смирнов А.И. Анализ развития популяции в условиях нестационарной среды // Методы для нестационарных задач математического программирования / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1979. С. 94-103.

9.   Takac P. Asymptotic behavior of discrete-time semigroups of sublinear, strongly increasing mappings with applications to biology // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1990. Vol. 14(1). P. 35-42.

10.   Hirsch M.W., Smith H.L. Monotone Dynamical Systems // Handbook of Differential Eqns: Ordinary Differential Eqns. / eds. A. Canada, P. Drabek, A. Fonda, B.V. Elsevier Amsterdam, 2005. Vol. II. P. 239-357.

11.   Смирнов А.И. О некоторых ослаблениях понятия неразложимости // Вестн. УИЭУиП. 2016. № 2(35). С. 26-30.

12.   Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И. Условия неразложимости и примитивности монотонных субоднородных отображений// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 3. C. 169-177. doi:10.21538/0134-4889-2016-22-3-169-177.

13.   Lemmens B., Roelands M. Unique geodesics for Thompson's metric // Ann. Institut Fourier. 2015. Vol. 65, № 1. P. 315-348.

14.   Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977. 245 c.

Поступила 15.03.2017

Мазуров Владимир Данилович 
д-р физ.-мат. наук
вед. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: mazurov@imm.uran.ru

Смирнов Александр Иванович
канд. физ.-мат. наук
ст. науч. сотрудник
Инcтитут математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: asmi@imm.uran.ru

English

Vl.D. Mazurov, A.I. Smirnov. The structure of the fixed point set of a reducible monotone subhomogeneous mapping.

We analyze the structure of the set of nontrivial equilibria for a monotone subhomogeneous discrete-time dynamical system on the nonnegative orthant of a finite-dimensional Euclidean space under as weak additional assumptions as possible. We use the notion of local irreducibility of a nonlinear mapping introduced by the authors. It is shown that, if a monotone subhomogeneous mapping has positive fixed points lying on different rays starting at the origin, then this mapping is reducible at at least one of them and a part of the components of the mapping are positively homogeneous on segments of these rays containing the positive fixed points. In particular, for concave mappings, this means the reducibility of the mapping at zero. As a result, we obtain a generalization of the theorem on the uniqueness of the ray containing the positive fixed points of such a mapping with the only additional assumption that the mapping is irreducible on the set of its positive fixed points. In this case, the set of all positive fixed points of a monotone ubhomogeneous mapping forms a continuous part of some ray starting at the origin.

Keywords: monotone mapping, subhomogeneous mapping, local irreducibility of a mapping, fixed points.

The paper was received by the Editorial Office on August 10, 2017

Vladimir Danilovich Mazurov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,
Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: mazurov@imm.uran.ru 

Aleksandr Ivanovich Smirnov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: asmi@imm.uran.ru