Р.Ж. Алеев, О.В. Митина, Т.А. Ханенко. Описание группы единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 16 ... С. 32-42

УДК: 512.552.7

MSC: 16S34

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-32-42

Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011.

Работа посвящена описанию группы $U$ единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка $16$. Группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков $2$ и $4$ тривиальны, а группа единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка $8$ хорошо известна. Поэтому случай циклической группы порядка $16$ является первым, для которого не проведено полное исследование строения группы единиц целочисленного группового кольца циклической $2$-группы. При изучении групп единиц целочисленных групповых колец циклических $2$-групп порядков более $16$ обязательно возникнет потребность в информации о строении групп единиц целочисленных групповых колец циклических $2$-групп меньших порядков, в частности, порядка $16$. Таким образом, можно сказать, что случай группы порядка $16$ является базисным для дальнейших исследований. Описание группы $U$ получено в терминах локальных единиц, определяемых характерами циклической группы порядка $16$ и единицами кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$, полученного присоединением к полю рациональных чисел примитивного корня из $1$ степени $16$. Поэтому потребовалось весьма подробное изучение строения группы единиц кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$. Кроме того в работе получены важные соотношения между коэффициентами произвольной единицы из $U$. Эти соотношения, очевидно, послужат образцами и примерами для получения подобных соотношений при исследовании единиц для случаев $2$-групп порядков, больших $16$. Наконец, отметим, что один из порождающих группы $U$ является особой единицей, которая определяется двумя единицами кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$. Эта единица является произведением двух локальных единиц, каждая из которых не содержится в $U$.

Ключевые слова: циклическая группа, групповое кольцо, единица группового кольца, круговое поле, кольцо целых поля, единица кольца целых кругового поля, целочисленное групповое кольцо.

Список литературы

1.   Алеев Р.Ж, Митина О.В., Христенко Е.А. Сравнение по модулю 2 круговых единиц в полях $Q_{16}$ и $Q_{32}$ // Челяб. физ.-мат. журн. 2016. Т. 1, вып. 4. С. 8-29.

2.   Алеев Р.Ж, Митина О.В., Ханенко Т.А. Нахождение единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16 и 32 // Челяб. физ.-мат. журн. 2016. Т. 1, вып. 4. С. 30-55.

3.   Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969. 668 с.

4.   Алеев Р.Ж. Центральные элементы целочисленных групповых колец // Алгебра и логика. 2000. Т. 39, вып. 5. С. 513-525.

5.   Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп // Мат. тр. 2000. Т. 3, вып. 1. С. 3-37.

Поступила 13.10.2017

Алеев Рифхат Жалялович 
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры системного программирования
Южно-Уральский государственный университет,
профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры
Челябинский государственный университет
e-mail: aleevrz@susu.ru, aleev@csu.ru

Митина Ольга Викторовна
канд. физ-мат. наук, доцент
Челябинский государственный университет,
Южно-Уральский государственный университет
e-mail: ovm@csu.ru

Ханенко Татьяна Александровна
студент математического факультета
Челябинский государственный университет
e-mail: tanja_1110_94@mail.ru

English

R.Zh. Aleev, O.V. Mitina, T.A. Khanenko. Description of the unit group of the integral group ring of a cyclic group of order 16.

The paper is devoted to the description of the group of units of the integral group ring of a cyclic group of order $16$. The groups of units of the integral group rings of cyclic groups of orders $2$ and $4$ are trivial, and the group of units of the integral group ring of a cyclic group of order $8$ is well known. Thus, the case of a cyclic group of order $16$ is the first for which the structure of the group of units of the integral group ring of a cyclic $2$-group has not been studied completely. When the groups of units of the integral group rings of cyclic $2$-groups of orders greater than $16$ are studied, it is necessary to have information on the structure of the groups of units of the integral group rings of cyclic $2$-groups of lower orders, in particular, of order $16$. Thus, we can say that the case of the group of order $16$ is the basis for further research. We describe the group of units of the integral group ring of a cyclic group of order $16$ in terms of local units defined by the characters of a cyclic group of order $16$ and by the units of the ring of integers of the cyclotomic field $\mathbf{Q}_{16}$ obtained by adjoining a primitive root of unity of degree $16$ to the field of rational numbers. That is why we study in detail the structure of the group of units of the ring of integers of the cyclotomic field $\mathbf{Q}_{16}$. In addition, we derive important relations between the coefficients of an arbitrary unit of the integral group ring of a cyclic group of order $16$. These relations will obviously serve as patterns and examples for obtaining similar relations in studying the units for the cases of $2$-groups of orders greater than $16$. Finally, we note that one of the generators of the group of units of the integral group ring of a cyclic group of order $16$ is a singular unit defined by two units of the ring of integers of the cyclotomic field $\mathbf{Q}_{16}$. This unit is the product of the two local units, each of which is not contained in the integral group ring of a cyclic group of order $16$.

Keywords: cyclic group, group ring, unit of a group ring, cyclotomic field, ring of integers of a field, unit of the ring of integers of a cyclotomic field, integral group ring.

The paper was received by the Editorial Office on October 13, 2017

Rifkhat Zhalyalovich Aleev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., South Ural State University, Chelyabinsk
State University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: aleevrz@susu.ru, aleev@csu.ru .

Ol’ga Viktorovna Mitina, Сand. Sci. (Phys.-Math.), South Ural State University, Chelyabinsk State
University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: ovm@csu.ru .

Tat’yana Aleksandrovna Khanenko, student Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454080
Russia, e-mail: tanja_1110_94@mail.ru .