А.Х. Журтов, М.Х. Шерметова. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {75,64,18,1;1,6,64,75} ...С. 128-135

УДК: 519.17+512.54

MSC: 05B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-128-135

Полная версия статьи

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ, проект 14-11-00061-П.

Дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{115,96,30,1;1,10,96,175\}$ является $AT4$-графом. Антиподальное частное $\Gamma'$ имеет параметры $(392,115,18,40)$ и сильно регулярные первую и вторую окрестности вершин с параметрами $(115,18,1,3)$ и $(276,75,10,24)$. Более того, вторая окрестность вершины в $\Gamma$ имеет массив пересечений $\{75,64,18,1;1,6,64,75\}$ и является 4-накрытием сильно регулярного графа с параметрами $(276,75,10,24)$. Ранее Махнев А.А., Падучих Д.В. и Самойленко М.С. нашли возможные автоморфизмы графа с параметрами $(392,115,18,40)$ и графа с массивом пересечений $\{115,96,30,1;1,10,96,175\}$. В работе найдены автоморфизмы графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{75,64,18,1;1,6,64,75\}$. Доказано также, что группа автоморфизмов графа $\Gamma$ действует интранзитивно на множестве его антиподальных классов.

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа.

Список литературы

1.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin etc: Springer-Verlag, 1989. 495 p. ISBN: 3-540-50619-5.

2.   Махнев А.А., Падучих Д.В. Небольшие $AT4$-графы и отвечающие им сильно регулярные подграфы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 220-230.

3.   Soicher L.H. Uniqueness of a distance-regular graph with intersection array $\{32,27,8,1;1,4,27,32\}$ and related topics [e-resource]. 2015. 11 c. URL: https://arxiv.org/pdf/1512.05976.pdf.

4.   Нирова М.С. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивами пересечений $\{144,125,32,1;1,8,125,144\}$ // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т.14. С.178-189.

5.   Махнев А.А., Падучих Д.В., Самойленко М.С. Автоморфизмы графа с массивом пересечений $\{115,96,30,1;1,10,96,115\}$ // Докл. АН. 2014. Т. 459, № 2. С. 149-153.

6.   Махнев А.А., Нирова М.С. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивами пересечений $\{69,56,10;1,14,60\}$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 3. С. 182-190.

7.   Махнев А.А., Пономарев Д.Н. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (392,115,18,40) // Докл. АН. 2015. Т. 460, № 1. С. 18-21.

8.   Махнев А.А., Самойленко М.С. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (276,75,10,24) // Докл. АН. 2014. Т. 457, № 5. С. 516-519.

9.   Cameron P.J. Permutation groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1999. (London Math. Soc. Student Texts; no. 45). 232 p.

10.   Махнев А.А., Падучих Д.В., Циовкина Л.Ю. Дистанционно регулярные накрытия графов эрмитовых форм $Herm(2,q^2)$ // Докл. АН. 2015. Т. 462, № 3. С. 268-273.

11.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{56,45,1;1,9,56\}$ // Докл. АН. 2010. Т. 432, № 5. C. 583-587.

12.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian. Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1-12.

Поступила 07.04.2017

Журтов Арчил Хазешович

д-р физ.-мат. наук,

зав. кафедрой

Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик

e-mail: zhurtov_a@mail.ru

Шерметова Марияна Хусейновна

аспирант

Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик

e-mail: mariyana1992@mail.ru

English

A.Kh. Zhurtov, M.Kh. Shermetova. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array $\{75,64,18,1;1,6,64,75\}$

A distance-regular graph $\Gamma$ with intersection array $\{115,96,30,1;1,10,96,175\}$ is an $AT4$-graph. The antipodal quotient $\bar \Gamma$ has parameters $(392,115,18,40)$, and its first and second neighborhoods of vertices are strongly regular with parameters $(115,18,1,3)$ and $(276,75,10,24)$. Moreover, the second neighborhood of any vertex in $\Gamma_2(u)$ has intersection array $\{75,64,18,1;1,6,64,75\}$ and is a 4-cover of a strongly regular graph with parameters $(276,75,10,24)$. Earlier, Makhnev, Paduchikh, and Samoilenko found possible automorphisms of a graph with parameters $(392,115,18,40)$ and of a graph with intersection array $\{115,96,30,1;1,10,96,175\}$. In this paper we find automorphisms of a graph with intersection array $\{75,64,18,1;1,6,64,75\}$. It is proved that the automorphism group of this graph acts intransitively on the set of its antipodal classes.

Keywords: distance-regular graph, automorphism of a graph.

The paper was received by the Editorial Office on April 7, 2017

Archil Khazeshovich Zhurtov, Dr. Phys.-Math. Sci., Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, Nal’chik, 360004 Russia, e-mail: zhurtov_a@mail.ru

Mariyana Khusenovna Shermetova, doctoral student, Kabardino-Balkarian State University named afterH.M. Berbekov, Nal’chik, 360004 Russia, e-mail: mariyana1992@mail.ru