УДК: 512.542
MSC: 05C25, 20D05, 20D06
DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-136-151
Полная версия статьи
Работа выполнена за счет гранта РНФ (проект 15-11-10025).
Пусть $G$ - конечная группа, $\pi(G)$ - множество простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ - множество порядков ее элементов. На $\pi(G)$ определяется граф со следующим отношением смежности: различные вершины $r$ и $s$ из $\pi(G)$ смежны тогда и только тогда, когда $rs\in \omega(G)$. Этот граф называется графом Грюнберга - Кегеля, или графом простых чисел группы $G$, и обозначается через $GK(G)$. В ряде статей мы описываем условия совпадения графов простых чисел неизоморфных простых групп. Этот вопрос связан с вопросом А.В. Васильева 16.26 из "Коуровской тетради" о количестве неизоморфных простых групп с одинаковым графом простых чисел. Ранее автором были даны необходимые и достаточные условия совпадения графов простых чисел двух конечных простых групп лиева типа $G$ и $G_1$, где $G$ и $G_1$ - две неизоморфные конечные простые группы лиева типа над полями порядков $q$ и $q_1$ соответственно одной характеристики. Пусть $G$ и $G_1$ - две неизоморфные конечные простые группы лиева типа над полями порядков $q$ и $q_1$ соответственно разных характеристик. Ранее автором получены необходимые условия совпадения графов простых чисел двух конечных простых групп лиева типа $G$ и $G_1$. В настоящей статье уточняется последний результат в случае, когда одна из групп - простая линейная группа достаточно большого лиева ранга над полем порядка $q$. Доказано, что если $G$ - простая линейная группа достаточно большого лиева ранга, то графы простых чисел групп $G$ и $G_1$ могут совпадать только при выполнении одного из девятнадцати случаев. В качестве следствия основного результата получены ограничения (при некоторых дополнительных условиях) на возможное число конечных простых групп с графом как у простой линейной группы.
Ключевые слова: конечная простая линейная группа, конечная простая унитарная группа, граф простых чисел, граф Грюнберга - Кегеля, спектр.
Список литературы
1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп / Ин-т математики СО РАН. Изд. 18-е, доп. Новосибирск, 2014. 253 с. URL: http://math.nsc.ru/alglog/18kt.pdf.
2. Hagie M. The prime graph of a sporadic simple group // Comm. Algebra. 2003. V. 31, no. 9. P. 4405-4424.
3. Звездина М.А. О неабелевых простых группах с графом простых чисел как у знакопеременной группы // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 1. С. 65-76.
4. Зиновьева М.Р. Конечные простые группы лиева типа над полем одной характеристики с одинаковым графом простых чисел // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 2. С. 168-183.
5. Зиновьева М.Р. О конечных простых классических группах над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 3. С. 101-116.
6. Васильев А.В., Вдовин Е.П. Критерий смежности в графе простых чисел // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682-725.
7. Васильев А.В., Вдовин Е.П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 4. С. 425-470.
8. Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. T. 180, № 6. С. 787-797.
9. Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487-513.
10. Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. Bd 3. S. 265-284.
Поступила 23.08.2017
Зиновьева Марианна Рифхатовна
канд. физ.-мат. наук,
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
доцент
Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина,
г. Екатеринбург
e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru
English
M.R. Zinov'eva. On finite simple linear and unitary groups over fields of different characteristics with coinciding prime graphs. I.
Suppose that $G$ is a finite group, $\pi(G)$ is the set of prime divisors of its order, and $\omega(G)$ is the set of orders of its elements. We define a graph on $\pi(G)$ with the following adjacency relation: different vertices $r$ and $s$ from $\pi(G)$ are adjacent if and only if $rs\in \omega(G)$. This graph is called the Gruenberg-Kegel graph or the prime graph of $G$ and is denoted by $GK(G)$. In a series of papers we describe the coincidence conditions for the prime graphs of nonisomorphic simple groups. This issue is connected with Vasil'ev's Question 16.26 in the "Kourovka Notebook" about the number of nonisomorphic simple groups with the same prime graph. Earlier the author derived necessary and sufficient conditions for the coincidence of the prime graphs of two nonisomorphic finite simple groups of Lie type over fields of orders $q$ and $q_1$, respectively, with the same characteristic. Let $G$ and $G_1$ be two nonisomorphic finite simple groups of Lie type over fields of orders $q$ and $q_1$, respectively, with different characteristics. The author also obtained necessary conditions for the coincidence of the prime graphs of two nonisomorphic finite simple groups of Lie type. In the present paper the latter result is refined in the case when $G$ is a simple linear group of sufficiently high Lie rank over a field of order $q$. If $G$ is a simple linear group of sufficiently high Lie rank, then we prove that the prime graphs of $G$ and $G_1$ may coincide only in one of nineteen cases. As corollaries of the main result, we obtain constraints (under some additional conditions) on the possible number of simple groups whose prime graph is the same as the prime graph of a simple linear group.
Keywords: finite simple linear group, finite simple unitary group, prime graph, Gruenberg-Kegel graph, spectrum.
The paper was received by the Editorial Office on August 23, 2017
Marianna Rifkhatovna Zinov'eva, Dr. Phys.-Math. Sci.,
Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Ural Federal University, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru.
