В.Ф. Вильданова. Уравнение агрегации с анизотропной диффузией ... С. 58-73.

УДК 517.956.45, 517.968.74

MSC: 35K20, 35K55, 35K65

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-58-73

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-41-020195 р-а).

Работа посвящена изучению смешанной задачи для уравнения агрегации с анизотропной вырождающейся диффузией. Единственность решения доказана методом энергетических оценок. При этом строится специальная пробная функция как решение вспомогательной эллиптической задачи. Предварительно изучается задача с гладкими данными, в которой нелокальный член со сверткой заменяется гладким вектором. Для нее устанавливаются неотрицательность решения и оценка сверху роста решения. Существование решения сначала доказывается для невырожденного уравнения комбинированием методов итераций и сжимающих отображений. Затем осуществляется предельный переход от решений $u_{\varepsilon}$ приближающего уравнения к решению предельной вырожденной задачи. При этом используется принцип компактности в $L_1,$ близкий к разработанному в известной работе Альта и Лукхауса. Исследуемые в статье уравнения возникают в моделях биологической агрегации.

Ключевые слова: уравнение агрегации, анизотропная диффузия, существование решения, единственность решения.

Список литературы

1. Bertozzi A., Slepcev D. Existence and Uniqueness of Solutions to an Aggregation Equation with Degenerate Diffusion // Comm. Pur. Appl. Anal. 2010. Vol. 6, no. 9. P. 1617-1637. doi: http://dx.doi.org/10.3934/cpaa.2010.9.1617 .

2. Boi S., Capasso V., Morale D. Modeling the aggregative behavior of ants of the species polyergus rufescens // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2000. Vol. 1, no. 1. P. 163-176. doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0362-546X(99)00399-5 .

3. Modeling group formation and activity patterns in self-organizing collectives of individuals / R. Eftimie, G. Vries, M.A. Lewis, F. Lutscher // Bull. Math. Biol. 2007. Vol. 146, iss.69. P. 1537-1565. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11538-006-9175-8 .

4. Milewski P.A., Yang X. A simple model for biological aggregation with asymmetric sensing //Commun. Math. Sci. 2008. Vol. 6, no. 2. P. 397-416. doi:1http://dx.doi.org/0.4310/CMS.2008.v6.n2.a7 .

5. Morale D., Capasso V., Oelschlager K. An interacting particle system modelling aggregation behavior: from individuals to populations // J. Math. Biol. 2005. Vol. 50, no. 1. P. 49-66. doi:1http://dx.doi.org/0.1007/s00285-004-0279-1 .

6. Topaz C.M., Bertozzi A.L., Lewis M.A. A nonlocal continuum model for biological aggregation // Bull. Math. Biol. 2006. Vol. 68, no. 7. P. 1601-1623. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11538-006-9088-6 .

7. Topaz C.M.,Bertozzi A.L. A swarming patterns in a two-dimensional kinematic model for biological groups // SIAM J. Appl. Math. 2004. Vol. 65, no. 1. P. 152-174. doi: http://dx.doi.org/10.1137/S0036139903437424 .

8. Burger M., Fetecau R. C., Huang Y. A Stationary states and asymptotic behavior of aggregation models with nonlinear local repulsion // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2014. Vol. 13, iss.1. P. 397-424. doi:http://dx.doi.org/10.1137/130923786 .

9. Blanchet A., Carrillo J. A., Laurencot P. Critical mass for a Patlak-Keller-Segel model with degenerate diffusion in higher dimensions // Calc. Var. Partial Differential Equations. 2009. Vol. 35, no. 2. P. 133-168. doi:http://dx.doi.org/10.1007/s00526-008-0200-7 .

10. Nonlinear aggregation-diffusion equations: radial symmetry and long time asymptotics / J.A. Carrillo, S. Hittmeir, B. Volzone, Y. Yao. arXiv:1603.07767v1[math.ap]. 2016. 47 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1603.07767.pdf.

11. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Существование и качественные свойства решения первой смешанной задачи для параболического уравнения с двойной нестепенной нелинейностью // Мат. сб. 2016. Т. 207, № 1. С. 3-44.

12. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 c.

13. Лионс Ж.-Л.,Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

14. Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 312 p.

15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 c.

16. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Мат. сб. 1975. Т. 97, № 2 (6). С. 242-261.

17. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. 1983. Vol. 183, no. 3. P. 311-341.

18. Brezis H. Analyze functionally [Collection of Applied Mathematics for the Master’s Degree]. Paris, Masson, 1983. ISBN: 2225771987.

Поступила 16.03.2017

Вильданова Венера Фидарисовна, кан. физ.-мат. наук, доцент
Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, г. Уфа
e-mail: gilvenera@mail.ru

English

V.F. Vil'danova. Aggregation equation with anisotropic diffusion.

A mixed problem for the aggregation equation with anisotropic degenerating diffusion is studied. The uniqueness of the solution is proved by the method of energy estimates. For this, a special test function is constructed as a solution of an auxiliary elliptic problem. Preliminarily, we study a problem with smooth data, where the nonlocal term with convolution is replaced by a smooth vector. For this problem, we establish the nonnegativity of the solution and find an upper bound for its growth. The existence of the solution is first proved for the nondegenerate equation by a combination of the iteration method and the method of contracting mappings. Passing to the limit, we obtain a solution of the degenerate limit problem from solutions $u_{\varepsilon}$ of the approximating equation. Here, we apply the compactness principle in $L_1$, which is similar to the principle developed in the known paper by Alt and Luckhaus. The equations under consideration appear in biological aggregation models.

Keywords: aggregation equation, anisotropic diffusion, solution existence, uniqueness of solution.


The paper was received by the Editorial Office on March 16, 2017.

Venera Fidarisovna Vildanova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Bashkir State Pedagogical University of M.~Akmulla, Ufa, 450000 Russia, e-mail: gilvenera@mail.ru.