А.Г. Бабенко, Ю.В. Крякин. Модифицированная функция Бернштейна и равномерное приближение некоторых рациональных дробей полиномами ... С. 43-57.

УДК 517.51

MSC: 41A10, 42A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-43-57

Полная версия статьи

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705), Программы государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-9356.2016.1)  и  Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт №02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

П. Л. Чебышев (1857, 1859) поставил и решил задачу о наименее уклоняющейся от нуля в равномерной метрике на отрезке неправильной рациональной дроби среди рациональных дробей, знаменатель которых фиксирован и представляет собой положительный на отрезке многочлен заданной степени $m,$ а числитель - многочлен заданной степени $n\ge{m}$ с единичным старшим коэффициентом. А. А. Марков (1884) решил аналогичную задачу в случае, когда в знаменателе расположен корень квадратный из заданного положительного многочлена. В XX в. эта тематика получила развитие в работах С. Н. Бернштейна, Н. И. Ахиезера и других математиков. Так, Г. Сеге (1964), используя методы комплексного анализа, перенес результат П. Л. Чебышева на случай тригонометрических дробей. В данной статье методами вещественного анализа на основе развития подхода С. Н. Бернштейна удалось найти наилучшее равномерное приближение на периоде тригонометрическими полиномами определенного порядка для бесконечной серии правильных тригонометрических дробей специального вида. Оказалось, что в периодическом случае некоторые результаты естественно формулировать в терминах обобщенного ядра Пуассона $\Pi_{\rho,\xi}(t)=(\cos\xi)P_\rho(t)+(\sin\xi)Q_\rho(t),$ представляющего собой линейную комбинацию ядра Пуассона $P_\rho(t)=(1-\rho^2)/[2(1+\rho^2-2\rho\cos{t})]$ и сопряженного ядра Пуассона $Q_\rho(t)=\rho\sin{t}/(1+\rho^2-2\rho\cos{t}),$ где $\rho\in(-1,1),$ $\xi\in\mathbb{R}. $ В настоящей работе найдено наилучшее равномерное приближение на периоде подпространством $\mathcal{T}_{n}$ тригонометрических полиномов порядка не выше $n$ следующей линейной комбинации обобщенного ядра Пуассона и его сдвига: $ \Pi_{\rho,\xi}(t)+(-1)^{n}\Pi_{\rho,\xi}(t+\pi). $ Отсюда при $\xi=0$ получаются известные результаты С. Н. Бернштейна о наилучшем равномерном приближении на $[-1,1]$ дробей $1/(x^2-a^2)$, $x/(x^2-a^2)$ алгебраическими многочленами, а при $\xi={\pi}/{2}$ - их весовые аналоги (с весом $\sqrt{1-x^2}).$ Кроме того, здесь найдена величина наилучшего равномерного приближения на периоде подпространством $\mathcal{T}_{n}$ специальной линейной комбинации упомянутого выше ядра Пуассона $P_\rho$ и ядра Пуассона $K_\rho$ для бигармонического уравнения в единичном круге.

Ключевые слова: Функции Бернштейна, ядра Пуассона, равномерное приближение.

Список литературы

1. Akhiezer N. Sur la valeur asimptoticue de la meilleure approximation de quelques fractions par des polyn$\hat{\mbox{o}}$mes // Compt. Rend. Acad. Sci. 1930. Vol. 191. P. 991-993.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.; Л.: ОГИЗ. Гос. изд-во тех.-теорет. лит-ры, 1947. 323 c.

3. Бабенко А.Г., Крякин Ю.В. Интегральное приближение характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики. 2008. Т. 14, вып. 3. С. 19-37.

4. Бабенко А.Г., Крякин Ю.В., Юдин В.А. Об одном результате Геронимуса // Тр. Ин-та математики и механики. 2010. Т. 16, вып. 4. С. 54-64.

5. Барабошкина Н.А. Приближение гармонических функций алгебраическими многочленами на окружности радиуса меньше единицы с наличием ограничений на единичной окружности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 71-78.

6. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений : в 4 т. Т. 1: Конструктивная теория функций (1905-1930). М.: АН СССР, 1952. 581 с.

7. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. 1. Л.; М.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1937. 203 с.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: пер. с англ. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

9. Dzjadyk V.K. On a problem of Chebyshev and Markov // Analysis Math. 1977. Vol. 3. P. 171-175. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02297689 .

10. Лебедев В.И. Экстремальные многочлены и методы оптимизации вычислительных алгоритмов // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 21-66.

11. Лукашов А.Л. Алгебраические дроби Чебышева - Маркова на нескольких отрезках // Analysis Math. 1998. Vol. 24. P. 111-130. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02771077 .

12. Марков А.А. Определение некоторой функции по условию наименее уклоняться от нуля // Сообщ. и протоколы заседаний мат. о-ва при Императорском харьковском ун-те, 1884. I. С. 83-92.

13. Марков А.А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 411 c.

14. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. М.: Наука, 1990. 528 с.

15. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева: пер.с польск. М.: Наука, 1983. 384 с.

16. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд-во БГУ, 1979. 176 с.

17. Szeg$\ddot{\mathrm{o}}$ G. On a problem of the best approximation // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. 1964. Vol. 27, Is. 3. P. 193-198. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02993216.

18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 с.

19. Чебышев П.Л. Полн. собр. соч.: в 5 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 1948. Т. 2: Математический анализ. 520 c. Т. 3: Математический анализ. 414 с.

20. Шабозов М.Ш. Наилучшее и наилучшее одностороннее приближения ядра бигармонического уравнения и оптимальное восстановление значений операторов // Укр. мат. журн. 1995. Т. 47, № 11. С. 1549-1557.

Поступила 17.10.2016

Бабенко Александр Григорьевич, д-р физ.-мат. наук
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН,
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: babenko@imm.uran.ru

Kryakin, Yuriy, dr hab.
Mathematical Institute University of Wroclaw Wroclaw, Poland
e-mail: kryakin@math.uni.wroc.pl

English

A. G. Babenko, Yu. V. Kryakin. Modified Bernstein function and a uniform approximation of some rational fractions by polynomials.

P. L. Chebyshev posed and solved (1857, 1859) the problem of finding an improper rational fraction least deviating from zero in the uniform metric on a closed interval among rational fractions whose denominator is a fixed polynomial of a given degree $m$ that is positive on the interval and numerator is a polynomial of a given degree $n\ge{m}$ with unit leading coefficient. A. A. Markov solved (1884) a similar problem in the case when the denominator is the square root of a given positive polynomial. In the 20th century, this research direction was developed by S. N. Bernstein, N. I. Akhiezer, and other mathematicians. For example, in 1964 G. Szeg\H{o} extended Chebyshev's result to the case of trigonometric fractions using the methods of complex analysis. In this paper, using the methods of real analysis and developing Bernstein's approach, we find the best uniform approximation on a period by trigonometric polynomials of certain order for an infinite series of proper trigonometric fractions of a special form. It turned out that, in the periodic case, it is natural to formulate some results in terms of the generalized Poisson kernel $\Pi_{\rho,\xi}(t)=(\cos\xi)P_\rho(t)+(\sin\xi)Q_\rho(t)$, which is a linear combination of the Poisson kernel $P_\rho(t)=(1-\rho^2)/[2(1+\rho^2-2\rho\cos{t})]$ and the conjugate Poisson kernel $Q_\rho(t)=\rho\sin{t}/(1+\rho^2-2\rho\cos{t})$, where $\rho\in(-1,1)$ and $\xi\in\mathbb{R}$. We find the best uniform approximation on a period by the subspace $\mathcal{T}_{n}$ of trigonometric polynomials of order at most $n$ for the linear combination $\Pi_{\rho,\xi}(t)+(-1)^{n}\Pi_{\rho,\xi}(t+\pi)$ of the generalized Poisson kernel and its shift. For $\xi=0$, this yields Bernstein's known results on the best uniform approximation on $[-1,1]$ of the fractions $1/(x^2-a^2)$ and $x/(x^2-a^2)$ by algebraic polynomials. For $\xi={\pi}/{2}$, we obtain the weight analogs (with weight $\sqrt{1-x^2}$) of these results. In addition, we find the value of the best uniform approximation on a period by the subspace $\mathcal{T}_{n}$ of a special linear combination of the mentioned Poisson kernel $P_\rho$ and the Poisson kernel $K_\rho$ for the biharmonic equation in the unit disk.

Keywords: Bernshtein functions, Poisson kernels, uniform approximation.

The paper was received by the Editorial Office on November, 17, 2016

A. G. Babenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: babenko@imm.uran.ru

Yu. V. Kryakin, dr hab., Mathematical Institute of University of Wroclaw, 48-300 Wroclaw, Poland e-mail: kryakin@math.uni.wroc.pl