УДК 517.518.834
MSC: 42A10
DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-253-256
Полная версия статьи
Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).
В статье получена оценка сверху погрешности аппроксимации кривизны графиков периодических функций класса $W^r$ при $r\ge 3$ в равномерной метрике с помощью простейшего аппарата приближения гладких периодических функций - частных сумм их тригонометрических рядов Фурье. Задача в математическом плане интересна тем, что кривизна графика функций является специфичным нелинейным оператором на классе гладких функций $W^r$ на периоде (и отрезке) при $r\ge 2$. Ранее было опубликовано несколько работ об аппроксимации кривизны плоских кривых в среднеквадратичной и чебышевской метриках. В качестве аппарата приближения в предшествовавших работах использовались частные суммы тригонометрических рядов (в $L^2$-норме), интерполяционные сплайны с равномерными узлами, средние Фейера частных сумм тригонометрических рядов и интерполяционно-ортогональные всплески на базе всплесков Мейера (в $C^{\infty}$-норме). Методику настоящей работы, отраженную в лемме, вероятно, можно распространить на $L^p$-метрику и другие методы аппроксимации.
Ключевые слова: приближение кривизны, плоские кривые класса $W^r$, равномерная метрика.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Субботин Ю.Н. Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элементами конечномерных подпространств // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 41–47.
2. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционные всплески в задаче оценки кривизны // Тр. Междунар. летней мат. шк.-конф. С. Б. Стечкина по теории функций. Душанбе: Изд-во “Офсет”, 2016. С. 231–233.
3. Соколов И.Г. Остаточный член ряда Фурье дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 1955. Т. 103, № 1. С. 23–26.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.; Л: Гостехиздат, 1947. 323 с.
Поступила 01.06.2017
Субботин Юрий Николаевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург,
e-mail: yunsub@imm.uran.ru
Черных Николай Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
e-mail: Chernykh@imm.uran.ru
English
N. I. Chernykh, Yu. N. Subbotin. Uniform approximation of the curvature of smooth planar curves with the use of partial sums of Fourier series.
An error bound for the approximation of the curvature of graphs of periodic functions from the class $W^r$ for $r\ge 3$ in the uniform metric is obtained with the use of the simplest approximation technique for smooth periodic functions, which is approximation by partial sums of their trigonometric Fourier series. From the mathematical point of view, the interest in this problem is connected with the specific nonlinearity of the graph curvature operator on the class of smooth functions $W^r$ on a period or a closed interval for $r\ge 2$. There are several papers on curvature approximation for planar curves in the mean-square and Chebyshev norms. In previous works, the approximation was performed by partial sums of trigonometric series (in the $L^2$ norm), interpolation splines with uniform knots, Fejer means of partial sums of trigonometric series, and orthogonal interpolating wavelets based on Meyer wavelets (in the $C^{\infty}$ norm). The technique of this paper, based on the lemma, can possibly be generalized to the $L^p$ metric and other approximation methods.
The paper was received by the Editorial Office on June, 1, 2017.
Yurii Nikolaevich Subbotin, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: yunsub@imm.uran.ru
Nikolai Ivanovich Chernykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: chernykh@imm.uran.ru
