Р.М. Тригуб. О кратно монотонных функциях ... С. 257-271.

УДК 517.5

MSC: 26A48, 42A38, 26A45, 42B35

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-257-271

По тематике и методу статья относится к классическому анализу. Винеровская банахова алгебра (нормированное кольцо) $A(\mathbb{R}^d),d\in \mathbb N,$  представляет собой пространство преобразований Фурье функций из $L_1(\mathbb{R}^d)$ (умножение поточечное). Принадлежность  этой алгебре является существенной для мультипликаторов Фурье из $L_1$ в $L_1$ и определяющей для сходимости на пространстве $L_1$ методов суммирования рядов и интегралов Фурье, задаваемых одной функцией-множителем. Функцию $f$ на $\mathbb{R}_+=(0,+\infty)$ называют $m$-кратно монотонной, если $(-1)^{\nu}f^{(\nu)} (t)\ge 0$ при $t\in \mathbb{R}_+$ и $0\le \nu \le m+1$. Давно известно для таких функций интегральное представление  Шенберга (I. J. Schoenberg), которое при $m\to\infty$ переходит в формулу С. Н. Бернштейна для вполне монотонных функций. Обозначим через $V_0(\mathbb{R}_+)$ множество функций ограниченной вариации на $\mathbb{R}_+$, т. е., множество функций, представимых в виде разности двух ограниченных монотонных функций. При $m\in \mathbb  N$ через $V_m(\mathbb{R}_+)$ обозначим пространство функций из $V_{0,loc}(\mathbb{R}_+)$ с условием $
\|f\|_{V_m}=\sup_{t\in \mathbb{R}_+} |f(t)| + \int_0^\infty t^m|df^{(m)}(t)|< \infty.
$ Это банахова алгебра. Для того чтобы  функция $f$ принадлежала $V_m(\mathbb{R}_+)$, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде разности двух ограниченных функций с выпуклыми производными порядка $m-1$ (теорема 1). В данной работе рассмотрен также вопрос о принадлежности $A(\mathbb{R}^d)$ функций вида $f_0(|x|_{p,d})$, где $x=(x_1,\ldots,x_d)\in\mathbb{R}^d,$ $|x|_{\infty,d} =\max\limits_{1\le j\le d}|x_j|,$ $|x|_{p,d}= \big(\sum_{j=1}^d |x_j|^p\big)^{1/p}$ при  $p\in (0,\infty)$. Случай $p=2$ (радиальные функции) хорошо изучен, включая признак  Пойя - Аски (G. Polya - R. Askey) положительной определенности функций на $\mathbb {R}^d$. Сформулируем следствия из  полученной здесь теоремы 2:

1) если $f_0\in C_0[0,\infty)$  и $f_0\in V_d(\mathbb{R}_+),$ то при $p\in [1,\infty]$ функция $f_0(|x|_{p,d})$ принадлежит $A(\mathbb{R}^d);$

2) если $f_0\in C_0[0,\infty)$  и $f_0\in V_{d+1}(\mathbb{R}_+),$ то при $p\in (0,1)$ функция $f_0(|x|_{p,d})$ принадлежит $A(\mathbb{R}^d).$

Приведены примеры, среди которых одна осциллирующая функция.

Ключевые слова: функции ограниченной вариации, выпуклые, кратно монотонные, вполне монотонные и положительно определенные на $\mathbb{R}_+$, преобразование Фурье.

CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Stein E.M. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton Univ. Press., 1970. 304 p.

2.   Stein E.M., Weiss G. Introduction of Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press., 1971. 312 p. ISBN: 0-691-08078-X .

3.   Liflyand E., Samko S., Trigub R. Absolute convergence of Fourier integrals // Analysis and Math. Physis. 2012. Vol. 2, no. 1. P. 1–68.

4.   Trigub R., Belinsky E. Fourier analysis and approximation of functions. Dordrecht: Kluwer-Springer, 2004. 585 p. ISBN: 1-4020-2341-3/hbk .

5.   Тригуб Р.М. О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций // Укр. мат. журн. 2010. Т. 62, № 9. С. 1280–1293.

6.   Belinsky E., Liflyand E. and Trigub R. The Banach algebra A* and its properties // J. Fourier Anal. Appl. 1997. Vol. 3, no. 2. P. 103–129. doi: 10.1007/BF02649131 .

7.   Beurling A. On the spectral synthesis of bounded functions // Acta Math. 1949. Vol. 81. P. 225–238. doi: 10.1007/BF02395018 .

8.   Schoenberg I.J. On integral representations of completely monotone and related functions: abstract // Bull. Amer. Math. Soc. 1941. Vol. 47. P. 208.

9.   Williamson R.E. Multiply monotone functions and their Laplace transforms // Duke Math. J. 1956. Vol. 23. P. 189–207. doi: 10.1215/S0012-7094-56-02317-1 .

10.   Askey R. Radial characteristic functions. Tech. Report no. 1262. Madison: Math. Resc. Center, University of Wisconsin. 1973.

11.   Schoenberg I.J. Metric spaces and completely monotone functions // Ann. Math. Soc. 1938. Vol. 39. P. 811–841.

12.   Trebels W. Multipliers for (C,α)-bounded Fourier expansions in Banach spaces and approximation theory. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1973. 103 p. (Lect. Notes Math.; vol. 329.) doi: 10.1007/BFb0060959 .

13.   Тригуб Р.М. Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V * // Укр. мат. вiсник. 2014. Т. 11, № 2. С. 274–286 .

14.   Trebels W. Some Fourier multiplier criteria and the spherical Bochner–Riesz kernel // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1975. Vol. 20, no. 10. P. 1173–1185.

15.   Тригуб Р.М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение полиномами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1980. Т. 44, № 6. С. 1378–1409.

16.   Лифлянд И.Р., Тригуб Р.М. О представлении функций в виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 153–166.

17.   Zastavnyi V.P. On positive definiteness of some functions // J. Multivariate Anal. 2000. Vol. 73, no. 1. P. 55–81. doi: 10.1006/jmva.1999.1864 .

18.   Тригуб Р.М. О преобразовании Фурье функций двух переменных, зависящих лишь от максимума модуля этих переменных. arXiv:1512.03183v1 [math CA]. 10 Dec. 2015. 30 p. URL:// https://arxiv.org/abs/1512.03183 .

19.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т. 3. M.: Физматлит, 1969. 662 p.

Поступила 13.04.2017

Тригуб Роальд Михайлович 
д-р физ.-мат. наук, профессор,
Сумский государственный университет
г. Сумы, Украина

e-mail: roald.trigub@gmail.com

 

English

R. M. Trigub. On multiply monotone functions.

The subject and the method of this paper belong to classical analysis. The Wiener Banach algebra (the normed ring) $A(\mathbb{R}^d)$, $d\in\mathbb N$, is the space of Fourier transforms of functions from $L_1(\mathbb{R}^d)$ (with pointwise product). The membership in this algebra is essential for Fourier multipliers from $L_1$ to $L_1$ and principal for the convergence on the space~$L_1$ of summation methods for Fourier series and integrals given by one factor function. A function $f$ is called $m$-multiply monotone on $\mathbb{R}_+=(0,+\infty)$ if $(-1)^{\nu}f^{(\nu)}(t)\ge 0$ for $t\in \mathbb{R}_+$ and $0\le\nu\le m+1$. For such functions, Shoenberg's integral presentation has long been known, which becomes Bernstein's formula for monotone functions as~$m\to \infty$. Denote by $V_0(\mathbb{R}_+)$ the set of functions of bounded variation on $\mathbb{R}_+$, i.e., the set of functions representable as the difference of two bounded monotone functions. Denote by $V_m(\mathbb{R}_+)$, $m\in\mathbb N$, the space of functions $f$ from $V_{0,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+)$ such that $\|f\|_{V_m}=\sup_{t\in \mathbb{R}_+}|f(t)|+\int_0^\infty t^m|df^{(m)}(t)|<\infty$. This is a Banach algebra. A function $f$ belongs to $V_m(\mathbb{R}_+)$ if and only if $f$ can be represented as the difference of two bounded functions with convex derivatives of order $m-1$ (Theorem~1). We also study conditions under which functions of the form $f_0(|x|_{p,d})$, where $|x|_{p,d}=\big(\sum_{j=1}^d |x_j|^p\big)^{1/p}$, $x=(x_1,\ldots,x_d)$, for $p\in (0,\infty)$ and $ |x|_\infty=\max\limits_{1\le j\le d}|x_j|$, belong to $A(\mathbb{R}^d)$. The case $p=2$ (radial functions) is well studied, including the P\'olya--Askey criterion of the positive definiteness of functions on $\mathbb {R}^d$. We prove Theorem~2, which has the following corollaries.

(1) If $f_0\in C_0[0,\infty)$ and $f_0\in V_d(\mathbb{R}_+)$, then $f_0(|x|_{p,d})\in A(\mathbb{R}^d)$ for $p\in [1,\infty]$.

(2) If $f_0\in C_0[0,\infty)$ and $f_0\in V_{d+1}(\mathbb{R}_+)$, then $f_0(|x|_{p,d})\in A(\mathbb{R}^d)$ for $p\in (0,1)$.

We give some examples, including an example with an oscillating function.

Keywords: function of bounded variation, convex function, multiply monotone function, completely monotone function, positive definite function, Fourier transform.

The paper was received by the Editorial Office on April 14, 2017.

Roald Mikhailovich Trigub, Dr. Phis.-Math. Sci., Prof., Sumy State University, Sumy, 40007, Ukraine, e-mail: roald.trigub@gmail.com