С.А. Стасюк.  Разреженное тригонометрическое приближение классов Бесова функций с малой смешанной гладкостью ... С. 244-252.

УДК 517.518

MSC: 41А60, 41А65, 42А10, 46Е30, 46Е35

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-244-252

В работе рассматриваются задачи, которые касаются нахождения точных по порядку оценок такого разреженного тригонометрического приближения, как наилучшее $m$-членное тригонометрическое приближение $\sigma_m(F)_q$, где в качестве классов $F$ рассматриваются как классы Никольского - Бесова $\mathbf{MB}^r_{p,\theta}$ функций смешанной гладкости, так и близкие к ним функциональные классы. Уделяется внимание соотношениям между параметрами $p$ и $q$, когда $1<p<q<\infty$, $q>2$. А. С. Романюком (2003) были найдены точные по порядку оценки величины $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, $1\leq\theta\leq\infty$ (оценки сверху при этом являлись неконструктивными), когда $1<p\leq 2<q<\infty$, $r>1/p-1/q$ или $2<p<q<\infty$,  $r>1/2$. В дополнение к исследованиям А. С. Романюка недавно В. Н. Темляков получил конструктивные оценки сверху (которые обеспечиваются конструктивным методом, основанным на жадном алгоритме) величины $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q \asymp\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1\leq\theta\leq\infty$ в случае большой гладкости, т. е. при $1<p<q<\infty$, $q>2$, $r>\max\{1/p;1/2\}$, рассмотрев при этом более широкие классы $\mathbf{MH}^r_{p,\theta}$ ($\mathbf{MB}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p}$, $1\leq\theta<\infty$). Меньше внимания было уделено конструктивным оценкам сверху величин $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ и $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$ в случае малой гладкости, т. е. при $1<p\leq 2<q<\infty$, $1/p-1/q<r\leq 1/p$. Для $1<p\leq 2<q<\infty$ В. Н. Темляковым была  найдена конструктивная оценка сверху для $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$,  если $\theta=\infty$, $1/p-1/q<r<1/p$ или $\theta=p$, $(1/p-1/q)q'<r<1/p$, где $1/q+1/q'=1$, а автором -  конструктивная оценка сверху для $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$,  если $r=1/p$, $p\leq\theta\leq\infty$, при этом оказалось, что $\sigma_m(\mathbf{MH}_{p,\theta}^{r})_q
\asymp  \sigma_m(\mathbf{MB}_{p,\theta}^{r})_q (\log m)^{1/\theta}$, $r=1/p$, $p\leq\theta<\infty$. В данной работе устанавливается конструктивная оценка  сверху для $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ (ил$\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$), $1<p\leq 2<q<\infty$, $(1/p-1/q)q'<r<1/p$, когда $p<\theta<\infty$ (или $p\leq\theta<\infty$), а также точные по порядку (хотя и неконструктивные сверху) оценки величин $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, $2<p<q<\infty$, $\theta=1$, $r=1/2$, и $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1<p\leq 2<q<\infty$, $1\leq\theta<p$, $r=1/p$, которые дополняют соответственно результаты А. С. Романюка и недавние исследования автора.
Ключевые слова: нелинейное приближение, разреженное приближение, смешанная гладкость, классы Бесова, точные порядковые оценки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Романюк А.С. Наилучшие M-членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мататематическая. 2003. Т. 67, № 2. С. 61–100.

2.   Белинский Э.С. Приближение плавающей системой экспонент на класах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многихвещественных переменных. Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та, 1988. С. 16–33.

3.   Темляков В.Н. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для функций смешанной гладкости // Мат. сб. 2015. Т. 206, № 11. С. 131–160.

4.   Базарханов Д.Б. Нелинейные тригонометрические приближения классов функций многих переменных // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 8–42.

5.   Temlyakov V.N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, № 3. P. 467–495. doi: 10.1007/s00365-016-9345-3 .

6.   Стасюк С.А. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для классов функций с небольшой смешанной гладкостью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 247–253.

7.   Стасюк С.А. Найкраще m-членне тригонометричне наближення перiодичних функцiй малої мiшаної гладкостi з класiв типу Нiкольського — Бєсова // Укр. мат. журн. 2016. Т. 68, № 7. С. 983–1003.

8.   Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных. Київ: Iнститут математики НАН України, 2012. Т. 92. 353 с. (Працi Iнститутуматематики НАН України.)

9.   D~ung D., Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic сross approximation. arXiv: math.1601.03978v2 [math.NA] 2 Dec 2016. P. 1–182. URL: https://arxiv.org/abs/1601.03978v2 .

10.   Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.

11.   Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.

12.   Стасюк С.А. Приближение некоторых гладкостных классов периодических функций многих переменных полиномами по тензорной системе Хаара // Тр. Ин-та математики и механики УрОРАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 251–260.

13.   Stasyuk S.A. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of several variables from Nikol’skii–Besov classes for small smoothness // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 177. P. 1–16.
doi: 10.1016/j.jat.2013.09.006 .

14.   Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. 496 с.

Поступила 26.07.2017

Стасюк Сергей Андреевич 
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Инcтитут математики НАН Украины, Киев
e-mail: stasyuk@imath.kiev.ua

English

S.A. Stasyuk. Sparse trigonometric approximation of Besov classes of functions with small mixed smoothness.

We consider problems concerned with finding order-exact estimates for a sparse trigonometric approximation, more exactly, for the best $m$-term trigonometric approximation $\sigma_m(F)_q$, where $F$ are the Nikol'skii-Besov classes $\mathbf{MB}^r_{p,\theta}$ of functions with mixed smoothness and classes of functions close to them. Attention is paid to relations between the parameters $p$ and $q$ for $1<p<q<\infty$ and $q>2$. In 2003 Romanyuk found order-exact estimates of $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ for $1\leq\theta\leq\infty$ (the upper estimates are nonconstructive) in the cases $1<p\leq 2<q<\infty$, $r>1/p-1/q$ and $2<p<q<\infty$, $r>1/2$. Complementing Romanyuk's studies, Temlyakov has recently found constructive upper estimates (provided by a constructive method based on a greedy algorithm) for $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q \asymp\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1\leq\theta\leq\infty$, in the case of great smoothness, i.e., for $1<p<q<\infty$, $q>2$, and $r>\max\{1/p;1/2\}$; he considered wider classes $\mathbf{MH}^r_{p,\theta}$ ($\mathbf{MB}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p}$, $1\leq\theta<\infty$). Less attention was paid to constructive upper estimates of the values $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ and $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$ in the case of small smothness, i.e., for $1<p\leq 2<q<\infty$ and $1/p-1/q<r\leq 1/p$. For $1<p\leq 2<q<\infty$ Temlyakov found a constructive upper estimate for $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ in the cases $\theta=\infty$, $1/p-1/q<r<1/p$ and $\theta=p$, $(1/p-1/q)q'<r<1/p$, where $1/q+1/q'=1$, while the author found a constructive upper estimate for $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$ if $r=1/p$ and $p\leq\theta\leq\infty$; it turned out that $\sigma_m(\mathbf{MH}_{p,\theta}^{r})_q\asymp \sigma_m(\mathbf{MB}_{p,\theta}^{r})_q (\log m)^{1/\theta}$ for $r=1/p$ and $p\leq\theta<\infty$. In the present paper, we derive a constructive upper estimate for $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ (or $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$) for $1<p\leq 2<q<\infty$ and $(1/p-1/q)q'<r<1/p$ when $p<\theta<\infty$ (or $p\leq\theta<\infty$) as well as order-exact (though nonconstructive upper) estimates for the values $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, $2<p<q<\infty$, $\theta=1$, $r=1/2$, and $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1<p\leq 2<q<\infty$, $1\leq\theta<p$, $r=1/p$, which complement Romanyuk's results and the author's recent results, respectively.
 

Keywords: nonlinear approximation, sparse trigonometric approximation, mixed smoothness, Besov classes, exact order bounds.

REFERENCES

1.   Romanyuk A.S. Best M-term trigonometric approximations of Besov classes of periodic functions of several variables. Izv. Math., 2003, vol. 67, no. 2, pp. 265–302.
doi: 10.1070/IM2003v067n02ABEH000427 .

2.   Belinskii E.S. Approximation by a “floating” system of exponentials on classes of periodic functions with a bounded mixed derivative. Studies in the theory of functions of several real variables. Matematika. Yaroslavl’: Yaroslav. Gos. Univ. Publ., 1988, pp. 16–33 (in Russian).

3.   Temlyakov V.N. Constructive sparse trigonometric approximation and other problems for functions with mixed smoothness, Sb. Math., 2015, vol. 206, no. 11, pp. 1628–1656.
doi: 10.1070/SM2015v206n11ABEH004507 .

4.   Bazarkhanov D.B. Nonlinear trigonometric approximations of multivariate function classes. Proc. Steklov Inst. Math., 2016, vol. 293, pp. 2–36. doi: 10.1134/S0081543816040027 .

5.   Temlyakov V.N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness. Constr. Approx., 2017, vol. 45, no. 3, pp. 467–495. doi: 10.1007/s00365-016-9345-3 .

6.   Stasyuk S.A. Constructive sparse trigonometric approximations of functions with small mixed smoothness. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 2016, vol. 22, no. 4, pp. 247–253 (in Russian).
doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-4-247-253 .

7.   Stasyuk S.A. Best m-term trigonometric approximation for periodic functions with small mixed smoothness from Nikolskii–Besov type classes. Ukrain. Mat. Zh., 2016, vol. 68, no. 7, pp. 983–1003 (inUkrainian).

8.   Romanyuk A.S. Approksimativnye kharakteristiki klassov periodichestikh funktsii mnogikh peremennykh [Approximation characteristics of classes of periodic functions of several variables]. Pratsi InstytutuMatematyky Natsional’noЈ AkademiЈ Nauk UkraЈny. Matematyka ta ЈЈ Zastosuvannya 93. KyЈv: Instytut Matematyky NAN UkraЈny, 2012, 352 p. ISBN: 978-966-02-6692-6 .

9.   D. D~ung, Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation, arXiv: math.1601.03978v2 [math.NA] 2 Dec 2016, pp. 1–182. Available at: https://arxiv.org/abs/1601.03978v2 .

10.   Temlyakov V.N. Approximation of functions with bounded mixed derivative. Proc. Steklov Inst. Math., 1989, vol. 178, no. 1, 121 p.

11.   Lizorkin P.I., Nikol’skii S.M. Functional spaces of mixed smoothness from decompositional point of view. Proc. Steklov Inst. Math., 1990, vol. 187, pp. 163–184.

12.   Stasyuk S.A. Approximation of certain smoothness classes of periodic functions of several variables by polynomials with regard to the tensor Haar system. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 2015, vol. 21,no. 4, pp. 251–260 (in Russian).

13.   Stasyuk S.A. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of several variables from Nikol’skii–Besov classes for small smoothness. J. Approx. Theory., 2014, vol. 177, pp. 1–16.
doi: 10.1016/j.jat.2013.09.006 .

14.   Kashin B.S., Saakyan A.A. Orthogonal series. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 1989, Ser. Trans. Math. Monogr., vol. 75, 451 p. ISBN: 0821845276 . Original Russian textpublished in Ortogonal’nye ryady, Moscow, Nauka Publ., 1984, 496 p.

The paper was received by the Editorial Office on July 26, 2017.

Sergej Andreevich Stasyuk, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 01601, Ukraine, e-mail: stasyuk@imath.kiev.ua