И.В. Мельникова, У.А. Алексеева, В.А. Бовкун. Связь бесконечномерных стохастических задач с задачами для вероятностных характеристик ... С. 191-205.

УДК 519.21+517.958

MSC: 47D07, 60H20, 60J25, 46G12

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-191-205

Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-9356.2016.1) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Работа посвящена исследованию связи между задачей Коши для бесконечномерных стохастических уравнений с мультипликативным винеровским процессом и задачами Коши (прямой и обратной) для соответствующих детерминированных уравнений в частных производных (с производными Фреше). Для марковских случайных процессов, задаваемых стохастическими уравнениями, доказано существование двух пределов, определяемых через плотности переходных вероятностей — обобщение на бесконечномерный случай средних значений и ковариации этих процессов. Получено уравнение в частных производных для вероятностных характеристик изучаемых процессов с коэффициентами, определяемыми этими пределами — бесконечномерный аналог уравнения Колмогорова. Специфика бесконечномерности решений рассматриваемых стохастических уравнений сказывается настолько сильно, что выражения для пределов и сами полученные уравнения в частных производных выглядят не так, как в конечномерном случае: в уравнении присутствует гладкий функционал, который в каком-то смысле играет роль основных функций в уравнениях, рассматриваемых как обобщенные.

Ключевые слова: стохастическая задача Коши, Q-винеровский процесс, марковский процесс, генератор полугруппы, уравнение Колмогорова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Allen E.J. Modeling with Ito stochastic differential equations. Berlin: Springer, 2007. 228 p.
ISBN: 978-1-4020-5953-7 .

2.   Gardiner C.W. Handbook of stochastic methods. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 2004. 440 p. ISBN: 3-540-20882-8 .

3.   Shreve S.E. Stochastic calculus for Finance II. Berlin; Heidelberg; London: Springer Finance, 2004. 550 p. ISBN: 978-0-387-40101-0 .

4.   Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridg: Cambridge Univ. Press, 2014. 380 p. ISBN: 9781107295513 .

5.   Gawarecki L., Mandrekar V. Stochastic differential equations in infinite dimensions. Berlin: Springer, 2011. 292 p. ISBN: 978-3-642-16194-0 .

6.   Melnikova I.V. Stochastic cauchy problems in infinite dimensions. Regularized and generalized solutions. Boca Raton; London: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016. 300 p. ISBN: 1482210509 .

7.   Carmona R., Tehranchi M. Interest rate models: an infinite dimensional stochastic analysis perspective. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2006. 235 p. ISBN: 3540270655 .

8.   Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 400 c.
ISBN: 5-9221-0335-0 .

9.   Melnikova I.V., Parfenenkova V.S. Relations between stochastic and partial differential equations in Hilbert spaces // Int. J. Stoch. Anal. 2012. Article ID 858736. doi: 10.1155/2012/858736.

10.   Розанов Ю.А. Случайные процессы (краткий курс). М.: Наука. Главная редакция физ-мат. лит-ры, 1971. 228 с.

11.   Hille E., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups. Rev. ed. Providence: American Mathematical Society, 1957. 810 pp. (Ser. Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 31.)

Поступила 15.05.2017

Мельникова Ирина Валерьяновна 
д-р физ.-мат. наук, профессор
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: Irina.Melnikova@urfu.ru

Алексеева Ульяна Алексеевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: Uliana.Alekseeva@urfu.ru

Бовкун Вадим Андреевич
аспирант
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: 123456m@inbox.ru

English

I. V. Mel’nikova, U. A. Alekseeva, V. A. Bovkun. The connection between infinite-dimensional stochastic problems and problems for probabilistic characteristics.

We study the connection between the Cauchy problem for infinite-dimensional quasi-linear stochastic equations with multiplicative Wiener process and the (direct and inverse) Cauchy problems for the corresponding deterministic partial differential equations (with Frechet derivatives). For Markov processes given by stochastic equations, we prove the existence of two limits defined in terms of densities of transition probabilities; these limits generalize to the general case the average values and covariances of these processes. A partial differential equation, which is an infinite-dimensional analog of the Kolmogorov equation, is obtained for probabilistic characteristics of the processes with coefficients defined by these limits. The fact that the solutions of the stochastic differential equations are infinite-dimensional has a profound effect on the expressions for the limits and for the obtained partial differential equations. The form of these expressions is different as compared to the finite-dimensional case: the equations contain a smooth potential, which, in a sense, plays the role of test functions in the equations considered as generalized ones.

Keywords: stochastic Cauchy problem, Q-Wiener process, Markov process, semigroup generator, Kolmogorov equation.

The paper was received by the Editorial Office on May 15, 2017.

Irina Valer’yanovna Melnikova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Institute of Natural Sciences and Mathematics, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: Irina.Melnikova@urfu.ru

Ul’yana Alekseevna Alekseeva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Institute of Natural Sciences and Mathematics, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: Uliana.Alekseeva@urfu.ru

Vadim Andreevich Bovkun, doctoral student, Ural Federal University, Institute of Natural Sciences and Mathematics, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: 123456m@inbox.ru