А.А. Махнев, М.С. Нирова. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {69,56,10;1,14,60} ... С. 182-190.

УДК 519.17

MSC: 05B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-182-190

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ, проект 15-11-10025 (теоремы 1-3) и соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации
и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.A03.21.0006 (следствие 2)

Пусть $\Gamma$ является дистанционно регулярным графом диаметра 3 с собственными значениями $\theta_0>\theta_1>\theta_2>\theta_3$. Если $\theta_2=-1$, то граф $\Gamma_3$ сильно регулярен и дополнительный граф $\bar \Gamma_3$ является псевдогеометрическим для $pG_{c_3}(k,b_1/c_2)$. Если граф $\Gamma_3$ не содержит треугольников и число его вершин $v$ меньше 800, то $\Gamma$ имеет массив пересечений {69,56,10;1,14,60}. При этом $\Gamma_3$ -- граф с параметрами (392,46,0,6) и $\bar \Gamma_2$ -- сильно регулярный граф с параметрами (392,115,18,40). Заметим, что окрестность любой вершины в графе с параметрами (392,115,18,40) является сильно регулярным графом с параметрами (115,18,1,3), существование которого не известно. В работе найдены возможные автоморфизмы указанных сильно регулярных графов и гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {69,56,10;1,14,60}. В частности, доказано, что последний граф не является реберно симметричным.

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1989. 495 p. doi: 10.1007/978-3-642-74341-2 .

2.   Махнев А.А., Падучих Д.В., Самойленко М.С. Автоморфизмы графа с массивом пересечений {115,96,30,1;1,10,96,115} // Докл. РАН 2014. Т. 459, № 2. С. 149–153.

3.   Махнев А.А., Самойленко М.С. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (276,75,10,24) // Докл. РАН. 2014. Т. 457, № 5. С. 516–519.

4.   Махнев А.А., Пономарев Д.Н. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (392,115,18,40) // Докл. РАН. 2015. Т. 460, № 1. С. 18–21.

5.   Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311, no. 2-3. P. 132–144.

6.   Cameron P. Permutation Groups. London: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p.

7.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56,45,1;1,9,56} // Докл. РАН. 2010. Т. 432, № 5. С. 512–515.

8.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 27.02.2017

Махнев Александр Алексеевич 
д-р физ.-мат. наук, чл.-кор. РАН
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Нирова Марина Сефовна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Кабардино-Балкарский гос. университет, г. Нальчик,
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: nirova_m@mail.ru

English

A.A. Makhnev, M.S. Nirova. On automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {69,56,10;1,14,60}.

Let $\Gamma$ be a distance-regular graph of diameter 3 with eigenvalues $\theta_0>\theta_1>\theta_2>\theta_3$. If $\theta_2=-1$, then the graph $\Gamma_3$ is strongly regular and the complementary graph $\bar\Gamma_3$ is pseudogeometric for $pG_{c_3}(k,b_1/c_2)$. If $\Gamma_3$ does not contain triangles and the number of its vertices~$v$ is less than 800, then $\Gamma$ has intersection array {69,56,10;1,14,60}. In this case $\Gamma_3$ is a graph with parameters (392,46,0,6) and $\bar \Gamma_2$ is a strongly regular graph with parameters (392,115,18,40). Note that the neighborhood of any vertex in a graph with parameters (392,115,18,40) is a strongly regular graph with parameters (115,18,1,3), and its existence is unknown. In this paper, we find possible automorphisms of this strongly regular graph and automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {69,56,10;1,14,60}. In particular, it is proved that the latter graph is not arc-transitive.

Keywords: distance-regular graph, automorphism of a graph.

The paper was received by the Editorial Office on February 27, 2017.

Aleksandr Alekseevich Makhnev, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: makhnev@imm.uran.ru 

Marina Sefovna Nirova, Cand. Phys.-Math. Sci, Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov, Nal’chik, 360004 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: nirova_m@mail.ru