А.В. Мироненко. Равномерное приближение идеальными сплайнами ... С. 206-213.

УДК 517.518

MSC: 41A15, 41A30

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-206-213 

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН “Математические задачи современной теории управления”.

Рассматривается задача равномерного приближения заданной на отрезке непрерывной функции. В случае аппроксимации классом W(n) (т. е. функциями, имеющими почти всюду ограниченную единицей производную порядка n) известен критерий элемента наилучшего приближения. В нем, кроме прочего, требуется совпадение на каком-то участке приближающей функции с идеальным сплайном степени n с конечным числом узлов. Сами по себе идеальные сплайны содержатся в классе функций W(n), поэтому в работе исследуется сужение задачи: приближение непрерывной функции только множеством идеальных сплайнов с произвольным конечным количеством узлов. В работе устанавливается существование идеального сплайна, являющегося одновременно элементом наилучшего приближения и в классе, и во множестве. Это доказывает равенство величин наилучшего приближения в этих задачах. Также в работе показывается, что элементы наилучшего приближения в этом множестве удовлетворяют критерию, аналогичному критерию элемента наилучешго приближения в классе W(n). Устанавливается всюду плотность множества идеальных сплайнов в классе W(n).

Ключевые слова: равномерное приближение, функции с ограниченной производной, идеальные сплайны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.; Л.: Гос. изд-во технико-теорет. литературы, 1949. 688 с.

2.   Мироненко А. В. Равномерное приближение классом функций с ограниченной производной // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 5. С. 696–712.

3.   Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении на некоторых классах непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, № 4. С. 748–751.

4.   Корнейчук Н. П. О наилучшем приближении непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1963. Т. 27. С. 29–44.

5.   Sattes U. Beste Approximation durch glatte Funktionen und Andwendungen in der intermediЈaren Approximation: Dissertation, UniversitЈat Erlangen-NЈurnberg, 1980.

6.   Sattes U. Best Chebyshev approximation by smooth functions // Quantitative Approximation: Proc. Internat. Symposium / eds. R.A. Devore and K. Scherer (Bonn, 1979) New York: Acad. Press, 1980. Р. 279–289.

7.   Brown A.L. Best approximation by smooth functions and related problems // Parametric optimization and approximation: Proc. Conf. Held at the Mathematisches Forschungsinstitut (Oberwolfach, 1983). Basel: BirkhЈauser, 1985. P. 70–82. (Internat. Schriftenreihe. Numer. Math., 72.)

8.   Oram J. A. Best approximation by periodic smooth functions // J. Approx. Theory. Vol. 92, no. 1. 1998. P. 128–166.

9.   de Boor C. A remark concerning perfect splines // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 80, no. 4. P. 724–727.

10.   Goodman T. N. T., Lee S. L. Another extremal property of perfect splines // Proc. of Amer. Math. Soc. 1978. Vol. 70, no. 2. P. 129–135.

Поступила 10.05.2017

Мироненко Александр Васильевич 
канд. физ.-мат. наук, математик 
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: a_mironenko@mail.ru

English

A. V. Mironenko. Uniform approximation by perfect splines.

The problem of uniform approximation of a continuous function on a closed interval is considered. In the case of approximation by the class W(n) of functions whose nth derivative is bounded by 1 almost everywhere, a criterion for a best approximation element is known. This criterion, in particular, requires that the approximating function coincide on some subinterval with a perfect spline of degree n with finitely many knots. Since perfect splines belong to the class W(n), we study the following restriction of the problem: a continuous function is approximated by the set of perfect splines with an arbitrary finite number of knots. We establish the existence of a perfect spline that is a best approximation element both in W(n) and in this set. This means that the values of best approximation in the problems are equal. We also show that the best approximation elements in this set satisfy a criterion similar to the criterion of best approximation in W(n). The set of perfect splines is shown to be everywhere dense in W(n).

Keywords: uniform approximation, functions with bounded derivative, perfect splines.

The paper was received by the Editorial Office on May 10, 2017.

Aleksandr Vasil’evich Mironenko, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: a_mironenko@mail.ru