УДК 512.542+519.175.1
MSC: 05C63, 05C50
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-228-235
Работа выполнена в рамках государственного задания ИММ УрО РАН, тема FUMF-2022-0003.
В предшествующей работе автора об операторах смежности локально конечных графов было доказано, что собственными значениями оператора смежности бесконечного локально конечного связного графа над полем нулевой характеристики могут не быть лишь алгебраические над простым подполем этого поля элементы (в частности, лишь алгебраические числа в случае поля $\mathbb{C}$). Там же были построены примеры бесконечных локально конечных связных графов, для которых отдельные алгебраические числа не являются собственными значениями их операторов смежности над $\mathbb{C}$. В настоящей работе строятся бесконечные локально конечные связные графы, для каждого из которых бесконечно многие алгебраические числа не являются собственными значениями оператора смежности над $\mathbb{C}$. Более точно, для любого простого числа $p$ строится такой бесконечный локально конечный связный граф, что ни одно из положительных кратных $p$ целых чисел не является собственным значением оператора смежности этого графа над $\mathbb{C}$. Кроме того, в работе приводится (основанное на результатах упоминавшейся предшествующей работы) необходимое условие того, что алгебраическое число не является собственным значением оператора смежности хотя бы какого-то бесконечного локально конечного связного графа.
Ключевые слова: локально конечный граф, матрица смежности, собственное значение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трофимов В. И. Об операторах смежности локально конечных графов // Изв. РАН. Сер. математическая. 2024. Т. 88, № 3. С. 139–191. https://doi.org/10.4213/im9408
2. Cvetković D., Doob M., Sachs H. Spectra of graphs: theory and applications. NY e.a.: Acad. Press, 1980. 368 p.
3. Cvetković D., Rowlinson P., Simić S. Eigenspaces of graphs. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 258 p.
4. Brouwer A. T., Haemers W. H. Spectra of graphs. NY: Springer, 2012. 250 p.
5. Estes D. R. Eigenvalues of symmetric integer matrices // J. Number Theory. 1992. Vol. 42. P. 292–296.
6. Salez J. Every totally real algebraic integer is a tree eigenvalue // J. Comb. Theory. Ser. B. 2015. Vol. 111. P. 249–256. https://doi.org/10.1016/j.jctb.2014.09.001
Поступила 7.11.2024
После доработки 14.11.2024
Принята к публикации 18.11.2024
Трофимов Владимир Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор, Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: trofimov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.И. Трофимов. Бесконечные локально конечные связные графы со счетными дополнениями в $\mathbb{C}$ множеств собственных значений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 228-235
English
V.I. Trofimov. Infinite locally finite connected graphs with countable complements in $\mathbb{C}$ of the sets of eigenvalues
In a previous paper, the author proved that non-eigenvalues of the adjacency operator of an infinite locally finite connected graph over a field of characteristic 0 can be only algebraic over the prime subfield of the field elements (in particular, only algebraic numbers when the field is $\mathbb{C}$). There were also given examples of infinite locally finite connected graphs for which certain algebraic numbers are not eigenvalues of their adjacency operators over $\mathbb{C}$. In the present paper we give examples of infinite locally finite connected graphs for each of which infiniely many algebraic numbers are not eigenvalues of its adjacency operator over $\mathbb{C}$. More exactly, for every prime integer $p$, we construct an infinite locally finite connected graph such that no positive integer multiple of $p$ is an eigenvalue of the adjacency operator over $\mathbb{C}$ of the graph. In addition, in the paper a necessary condition (based on results of the mentioned previous paper) is given for an algebraic number not to be an eigenvalue of the adjacency operator over $\mathbb{C}$ of at least one infinite locally finite connected graph.
Keywords: locally finite graph, adjacency matrix, eigenvalue
Received November 7, 2024
Revised November 14, 2024
Accepted November 18, 2024
Funding Agency: The work was supported under state contract of IMM UB RAS, project no. FUMF-2022-0003.
Vladimir Ivanovich Trofimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lead. Sci. Researcher, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Professor, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia,
e-mail: trofimov@imm.uran.ru
Cite this article as: V.I. Trofimov. Infinite locally finite connected graphs with countable complements in $\mathbb{C}$ of the sets of eigenvalues, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 228–235.
