УДК 517.977
MSC: 46E15, 46E40, 54C30
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-236-246
В данной работе рассматривается вопрос о дополняемости пространства $C_p(X)$ в пространстве $C_p(Y)$ для счетных разреженных метризуемых пространств $X$ и $Y$. Говорят, что пространство $C_p(X)$ дополняемо вкладывается в пространство $C_p(Y)$, если существует линейный гомеоморфизм $C_p(X)$ на дополняемое подпространство $L\subset C_p(Y)$. Доказано, что если для некоторого ординала $\alpha$ производная $X^{(\alpha\cdot\omega)}\neq\varnothing$, а $Y^{(\omega)}=\varnothing$, то пространство $C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Наряду с $X^{(\alpha)}$ рассматриваются производные $X^{\{\alpha\}}$, которые определяются аналогично $X^{(\alpha)}$ отбрасыванием точек, обладающих компактной окрестностью. Доказано, что если $X^{\{\alpha\}}\neq\varnothing$, а $Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, то пространство~$C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Доказано также, что если $X^{\{\alpha\}}=Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, $X^{\{\alpha -1\}}$ - локально компактное некомпактное пространство, а $Y^{\{\alpha -1\}}$ - компакт, то пространство $C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Для доказательства используется метод разложения пространства $C_p(X)$ в счетное произведение пространств $C_p(X_n)$ и существование непрерывного линейного оператора продолжения $T:C_p(L)\longrightarrow C_p(X)$ для замкнутого подмножества $L\subset X$.
Ключевые слова: гомеоморфизм, линейный гомеоморфизм, топология поточечной сходимости, ретракт, проектор, дополняемые подпространства, ординал, теорема о замкнутом графике
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Baars J., de Groot J. An isomorphical classification on functions spaces of zero-dimensional locally compact separable metric spaces // Comment. Math. Univ. Carol. 1988. Vol. 29, no. 3. P. 577–595. URL: http://dml.cz/dmlcz/106673 .
2. Baars J., de Groot J. On the l-equivalence of metric spaces // Fundam. Math. 1991. Vol. 137. P. 25–43. https://doi.org/10.4064/fm-137-1-25-43
3. Хмылева Т.Е., Кириенко А.Е. Локальная компактность и гомеоморфизмы пространств непрерывных функицй // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2010. Т. 11, № 3. C. 61–68.
4. Гулько С.П., Окунев О.Г. Локальная компактность и -эквивалентность // Вопросы геометрии и топологии. Петрозаводск, 1986. C. 14–23.
5. Baars J. On the $l_p^{*}$-equivalence of metric spaces // Topol. Appl. 2021. Vol. 298, art. no. 107729. https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107729
6. Cembranos P., Mendoza J. The Banach spaces $l_{\infty}(c_0)$ and $c_0(l_{\infty})$ are not isomorphic // Topol. Appl. 2010. Vol. 367, no. 2. P. 461–463. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.01.057
7. Хмылева Т.Е. Об изоморфности пространств непрерывных ограниченных функций // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1981. Т. 113. C. 243–246.
8. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 606 p.
9. Mazur S., Orlics W. On linear methods of summability // Studia Math. 1954. Vol. 14. P. 129–160. https://doi.org/10.4064/sm-14-2-129-160
10. Van Mill J. The infinite-demensional topology of functions spaces. Amsterdam: Elsevier, 2001. 606 p.
11. Bessaga S., Pelczynski A. Spaces of contionuos functions // Studia Math. 1960. Vol. 19. P. 53–62. https://doi.org/10.4064/sm-19-1-53-62
Поступила 27.11.2024
После доработки 14.02.2025
Принята к публикации 17.02.2025
Хмылёва Татьяна Евгеньевна
канд.-физ.-мат. наук
доцент
кафедра математического анализа и теории функций
Томский государственный университет
г. Томск
e-mail: tex2150@yandex.ru
Ссылка на статью: Т.Е. Хмылёва. О дополняемости и линейной гомеоморфности пространств $C_p(X)$ для счетных метрических пространств $X$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 236-246
English
T.E. Khmyleva. On complementarity and linear homeomorphism of $C_p(X)$ spaces for countable metric spaces $X$
In this paper, we consider the complementarity of the space $C_p(X)$ in the space $C_p(Y)$ for countable sparse metrizable spaces $X$ and $Y$. It is said that the space $C_p(X)$ is complementably embedded in the space $C_p(Y)$ if there exists a linear homeomorphism $C_p(X)$ to the complemented subspace $L\subset C_p(Y)$. We prove that if for some ordinal $\alpha$ the derivative $X^{(\alpha\cdot\omega)}\neq\varnothing$, and $Y^{(\omega)}=\varnothing$, then the space $C_p(X)$ is complementably not embedded in the space $C_p(Y)$. We also consider the derivatives $X^{(\alpha)}$, which are defined similarly to $X^{(\alpha)}$ by removing all points having a compact neighborhood. It is proved that if $X^{\{\alpha\}}\neq\varnothing$, and $Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, then the space $C_p(X)$ is not complementably embedded in the space $C_p(Y)$. Futhermore, if $X^{\{\alpha\}}=Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, $X^{\{\alpha-1\}}$ is a locally compact non-compact space, and $Y^{\{\alpha -1\}}$ is compact, then the space $C_p(X)$ is complementably not embedded in the space $C_p(Y)$. For the proof, the method of decomposition of the space $C_p(X)$ into a countable product of the spaces $C_p(X_n)$ and the existence of a continuous linear extension operator $T:C_p(L)\longrightarrow C_p(X)$ for a closed subset of $L\subset X$.
Keywords: homeomorphism, linear homeomorphism, topology of pointwise convergence, retract, projector, complemented subspaces, ordinal, closed graph theorem
Received November 27, 2024
Revised February 14, 2025
Accepted February 17, 2025
Tatyana Khmyleva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), the Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions, Tomsk State University, 634050 Russia, e-mail: tex2150@yandex.ru
Cite this article as: T.E. Khmyleva. On complementarity and linear homeomorphism of $C_p(X)$ spaces for countable metric spaces $X$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 236–246.
