УДК 517.929.5
MSC: 39A33
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-110-118
В работе доказано, что если линейная неоднородная периодическая система $x(n+1)=P(n)x(n) +f(n),$ в которой матрицы $P(n)$ и $f(n)$ $\omega$-периодичны $(\omega\neq 1)$, $\det P(n)\neq 0 $, имеет $\Omega$-периодическое решение $(\Omega\neq 1)$, период которого взаимно прост с периодом системы, то существует $n_{0}\in \mathbb Z_{+}$ такое, что для всех $n\in \mathbb Z_{+}$ $\det(P(n)-P(n_{0}))=0.$ Приведен пример линейной неоднородной системы второго порядка, в которой матрицы $P(n)$ и $f(n)$ имеют общий период 3, а система имеет 2-периодическое решение. Построены $\omega$-периодические ($\omega\neq 1$) нелинейные системы разностных уравнений в двумерном и трехмерном случаях, имеющие решение, период которого $\Omega\neq 1$ взаимно прост с $\omega$, но при этом система не имеет $\omega$-периодических решений.Доказано, что дискретное неавтономное логистическое уравнение $$x_{n+1}=x_{n}\exp\Big(r_{n}\Big(1-\frac{x_{n}}{K_{n}}\Big)\Big),$$ где $\{r_{n}\}$ и $\{K_{n}\}$ — положительные периодические последовательности с общим периодом $\omega$ ($\omega\neq 1$), не может иметь $\Omega$-периодическое решение ($\Omega\neq 1$), период которого взаимно прост с $\omega$.
Ключевые слова: периодические решения периодической системы разностных уравнений, взаимная простота периодов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Janglajew K., Schmeidel E. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Advances in Difference Equations. 2012. Art. no. 195. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195
2. Elaydi S. An introduction to difference equations. NY: Springer, 2005. 540 p. https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5
3. Agarwal R.P., Popenda J. Periodic solutions of first order linear difference equations. Mathematical and Computer Modelling. 1995. Vol. 22, no. 1. P. 11–19. https://doi.org/10635/103929
4. Игнатьев А.О. О некоторых свойствах решений систем линейных разностных уравнений с периодическими правыми частями //Дифференц. уравнения. 2023. T. 59, № 4. C. 494–500. https://doi.org/10.31857/S0374064123040064
5. Папалекси Н.Д. Об одном случае параметрически связанных систем // J. Phys. Acad. Sc. USSR. 1939. Т. 1. С. 373–379.
6. Massera J.L. Observaciones sobre les soluciones de equaciones diferenciales // Bol. de la Facultad de Ingenieria. Montevideo. 1950. Vol. 4, no. 1. P. 37–45.
7. Курцвейль Я., Вейвода О. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Чехосл. мат. журн. 1955. Т. 5, № 3. С. 362–370.
8. Еругин Н.П. О периодических решениях дифференциальных уравнений // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, № 1. С. 148–152.
9. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1970. 572 с.
10. Гайшун И.В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 8. С. 684–686.
11. Грудо Э.И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами периодических дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 9. С. 1499–1504.
12. Грудо Э.И. Периодические системы, имеющие решения с несоизмеримыми периодами по отношению к периоду системы // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 4. С. 200.
13. Грудо Э.И., Деменчук А.К. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 409–416.
14. Ильин Ю.А. О периодических решениях линейных систем, период которых несоизмерим с периодом системы [e-resource] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2010, № 4. URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/iljin.pdf .
15. Борухов В.Т. Сильно инвариантные подпространства неавтономных линейных периодических систем и их решения с периодом, несоизмеримым с периодом системы // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 5. С. 585–591.
16. Пеннер Д.И., Дубошинский Я.Б., Дубошинский Д.Б. Колебания с саморегулирующимся временем взаимодействия // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, № 5. С. 1065–1066.
17. Пеннер Д.И. и др. Асинхронное возбуждение незатухающих колебаний // Успехи физ. наук. 1973. Т. 109, №1. С. 402–406. https://doi.org/10.3367/UFNr.0109.197302j.0402
18. Ласунский А.В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения // Тр. Карел. науч. центра РАН. 2012, № 5. С. 44–48.
19. Деменчук А.К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления. Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2012. 186 c.
20. Белокурский М.С., Деменчук А.К. Признак отсутствия сильно нерегулярных периодических решений системы двух линейных дискретных периодических уравнений // Проблемы физики, математики и техники. 2018, № 3(36). С. 67–69.
21. Деменчук А.К. О сильно нерегулярных периодических решениях линейного дискретного уравнения первого порядка // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. Т. 56, № 1. С. 30–35. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-30-35
22. Свирижев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.
23. Zhan Zhou, Xingfu Zou. Stable periodic solutions in a discrete periodic logistic equation // Appl. Math. Lett. 2003. Vol. 16. P. 165–171.
24. Ласунский А.В. О циклах дискретного периодического логистического уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 2. С. 154–157.
Поступила 8.10.2024
После доработки 16.11.2024
Принята к публикации 25.11.2024
Ласунский Александр Васильевич
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры прикладной математики и информатики
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
г. Великий Новгород
e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru
Ссылка на статью: А.В. Ласунский. О периодических решениях системы разностных уравнений, период которых взаимно прост с периодом системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 110-118
English
A.V. Lasunsky. On periodic solutions of a system of difference equations whose period is coprime with the period of the system
It is proved that if a linear inhomogeneous periodic system $ x(n+1)=P(n)x(n) +f(n),$ in which the matrices $P(n)$ and $f(n)$ are $\omega$-periodic $(\omega\neq 1)$ and $\det P(n)\neq 0$, has an $\Omega$-periodic solution $(\Omega\neq1)$ whose period is coprime with the period of the system, then there is $n_{0}\in \mathbb Z_{+}$ such that $ \det(P(n)-P(n_{0}))=0 $ for all $n\in\mathbb Z_{+}$. An example of a linear inhomogeneous second-order system is given in which the matrices $P(n)$ and $f(n)$ have a common period 3, and the system has a 2-periodic solution. In the two-dimensional and three-dimensional cases, we construct nonlinear $\omega$-periodic ($\omega\neq 1$) systems of difference equations that have a solution whose period $\Omega\neq 1$ is coprime with $\omega$, but the system does not have $\omega$-periodic solutions. It is proved that the discrete nonautonomous logistic equation $$ x_{n+1}=x_{n}\exp\Big(r_{n}\Big(1-\frac{x_{n}}{K_{n}}\Big)\Big), $$ where $\{r_{n}\}$ and $\{K_{n}\}$ are positive periodic sequences with a common period $\omega$ ($\omega\neq 1$), cannot have an $\Omega$-periodic solution ($\Omega\neq 1$) whose period is coprime with $\omega$.
Keywords: periodic solutions of a periodic system of difference equations, coprimality of periods
Received October 8, 2024
Revised November 16, 2024
Accepted November 25, 2024
Alexander Vasilievich Lasunsky, Dr. Phys.-Math. Sci., Yaroslav the Wise Novgorod State University, Veliky Novgorod, 173003 Russia, e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru
Cite this article as: A.V. Lasunsky. On periodic solutions of a system of difference equations whose period is coprime with the period of the system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 110–118.
