УДК 517.518.153
MSC: 26A15, 26A16
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-224-233
Найдутся такие положительные числа $C$ и $c$, что для произвольной выпуклой вверх функции типа модуля непрерывности $\omega(t)$, у которой $\omega(t)/t\to+\infty$ при $t\to+0$, можно построить пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции $W_\omega(x)$ типа Вейерштрасса, для которой выполнены следующие условия.
$1^{\circ}$. Модуль непрерывности функции $W_\omega(x)$ не превосходит $C\omega(t)$.
$2^{\circ}$. Для каждой точки $x_0$ найдется сходящаяся к $x_0$ последовательность $\{x_n\}$, для которой при каждом номере $n$ выполнено неравенство $|W_\omega(x_n)-W_\omega(x_0)|>c\,\omega(|x_n-x_0|)$.
$3^{\circ}$. В каждой точке производные числа функции $W_\omega(x)$ принимают любое значение из промежутка $[-\infty;+\infty]$.
Ключевые слова: модуль непрерывности, нигде не дифференцируемая непрерывная функция, производные числа, нигде не дифференцируемая непрерывная функция типа Вейерштрасса
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимов А.В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Мат. сб. 1961. Т. 54, № 1. C. 51–90.
2. Bolzano B. Functionenlehre. Handwriting 1830. Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften, 1930. 207 p.
3. Mishura Y., Schied A. On (signed) Takagi–Landsberg functions: pth variation, maximum, and modulus of continuity // J. Math. Analisis Appl. 2019. Vol. 473, no. 1. P. 258–272. doi: 10.48550/arXiv.1806.05702
4. Рубинштейн А.И. Об $\omega$-лакунарных рядах и о функциях классов $H^\omega$ // Мат. сб. 1964. Т. 65, № 2. С. 239–271.
5. Weierstrass K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. In: Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1872. P. 190–193. doi: 10.1007/978-3-322-91273-2_5
6. Рубинштейн А.И., Теляковский Д.С. О функциях типа ван-дер-Вардена // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, № 3. С. 339–347. doi: 10.18500/1816-9791-2023-23-3-339-347
7. Мышкис А.Д. Еще о задаче Н. Н. Лузина // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 2 (74). С. 155–157.
8. Теляковский Д.С. Об условиях моногенности // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й междунар. Саратов. зим. шк. Саратов, 2022. С. 289–293.
9. Теляковский Д.С. Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции с модулем непрерывности, не превосходящим данного // Вестн. НИЯУ МИФИ. 2022. Т. 11, № 3. С. 228–234. doi: 10.56304/S2304487X22030117
10. Трохимчук Ю.Ю. О двух проблемах Н.Н. Лузина // Успехи мат. наук. Т. 11, № 5 (71). С. 215–222.
11. Долженко Е.П. О производных числах комплексных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1962. Т. 26, № 3. С. 347–360.
Поступила 7.08.2024
После доработки 7.11.2024
Принята к публикации 18.11.2024
Рубинштейн Александр Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ
г. Москва
ORCID 0000-0001-8863-5438
e-mail: rubinshtein_aleksandr@mail.ru
Теляковский Дмитрий Сергеевич
канд. физ.-мат. наук
Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ
г. Москва
ORCID 0000-0003-1579-2154
e-mail: dtelyakov@mail.ru
Ссылка на статью: А.И. Рубинштейн, Д.С. Теляковский. Об одном примере непрерывной нигде не дифференцируемой функции с модулем непрерывности, не превосходящим данного // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 224-233
English
A.I. Rubinstein, D.S. Telýakovskii. One example of a continuous nowhere differentiable function whose modulus of continuity does not exceed a given one.
There exist positive numbers $C$ and $c$ such that, for an arbitrary concave function $\omega(t)$ of the modulus of continuity type with $\omega(t)/t\to+\infty$ as $t\to+0$, one can construct an example of a continuous nowhere differentiable Weierstrass-type function $W_\omega(x)$ satisfying the following conditions:
$1^{\circ}$. The modulus of continuity of $W_\omega(x)$ does not exceed $C\omega(t)$.
$2^{\circ}$. For each point $x_0$, there exists a sequence $\{x_n\}$ convergent to $x_0$ and such that $|W_\omega(x_n)-W_\omega(x_0)|>c\,\omega(|x_n-x_0|)$ for each $n$.
$3^{\circ}$. At each point $x_0$, the derivative numbers of $W_\omega(x)$ take all values from the interval $[-\infty;+\infty]$.
Keywords: modulus of continuity, nowhere differentiable continuous function, derivative numbers, Weierstrass-type nowhere differentiable continuous function
Received August 7, 2024
Revised November 7, 2024
Accepted November, 18, 2024
Aleksandr Iosifovich Rubinshtein, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, 115409 Russia; ORCID 0000-0001-8863-5438, e-mail: rubinshtein_aleksandr@mail.ru
Dmitrii Sergeevich Telýakovskii, Cand. Sci. (Phys.-Math.), National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, 115409 Russia; ORCID 0000-0003-1579-2154, e-mail: dtelyakov@mail.ru
Cite this article as: A.I. Rubinstein, D.S. Telýakovskii. One example of a continuous nowhere differentiable function whose modulus of continuity does not exceed a given one. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 224–233.
[References -> on the "English" button bottom right]
