УДК 517.97
MSC: 35K57, 49J20, 92D25, 91B76, 35A01
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-113-121
Мы рассматриваем ресурс, распределенный на компактном замкнутом связном многообразии без края, например, на двумерной сфере — поверхности Земли, с динамикой, доставляемой моделью типа Колмогорова — Петровского – Пискунова и Фишера с коэффициентами в члене реакции, зависящими от общего объема ресурса, что делает уравнение модели нелокальным. При естественных предположениях о параметрах модели показано, что существует не более одного нетривиального неотрицательного стационарного распределения ресурса, а при наличии постоянного распределенного отбора ресурса есть стратегия отбора, при которой такое состояние доставляет максимум среднего временного сбора ресурса на стационарных состояниях.
Ключевые слова: КПП-модель, стационарное решение, средний временной сбор, оптимальная стратегия
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Berestycki H., Francois H., Roques L. Analysis of the priodically fragmented environment model: I Species persistence // J. Math. Biol. 2005. Vol. 51. P. 75–113. doi: 10.1007/s00285-004-0313-3
2. Berestycki H., Francois H., Roques L. Analysis of the periodically fragmented environment model: II–biological invasions and pulsating travelling fronts // J. Math. Pures Appl.. 2005. Vol. 84, no. 8. P. 1101–1146. doi: 10.1016/j.matpur.2004.10.006
3. Daners D., Medina P. Abstract evolution equations. Periodic problems and applications. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992. 249 p. (Pitman Research Notes in Math. Ser.; vol. 279.)
4. Henderson K., Loreau M. An ecological theory of changing human population dynamics // People Nature. 2019. Vol. 1, no. 1. P. 31–43. doi: 10.1002/pan3.8
5. Hess P. Periodic-parabolic boundary value problems and positivity. NY: John Wiley & Sons, 1991. 139 p. (Pitman Research Notes in Math. Ser.; vol. 247). ISBN: 0-582-06478-3А.
6. Cohen P.J., Foale S.J. Sustaining small-scale fisheries with periodically harvested marine reserves // Marine Policy. 2013. Vol. 37, no. 1. P. 278–287. doi: 10.1016/j.marpol.2012.05.010
7. Pethame B. Parabolic equations in biology: growth, reaction, movement and diffusion. Cham: Springer, 2015. 199 p. (Ser. Lecture Notes Math. Modelling Life Sci.) doi: 10.1007/978-3-319-19500-1
8. Undersander D., Albert B., Cosgrove D., Johnson D., Peterson P. Pastures for profit: A guide to rotational grazing (A3529). Madison: Cooperative Extension Publ., University of Wisconsin-Extension, 2002. 43 p.
9. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la populations suit dans son accroissement // Correspondance mathematique et physique. Ghent. 1838. Vol. 10. P. 113–121.
10. Беляков А.О., Давыдов А.А. Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, №2. С. 38–46. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-38-46
11. Belyakov A.O., Davydov A.A., Veliov V.M. Optimal cyclic exploitation of renewable resources // J. Dyn. Control Syst.. 2015. Vol. 21, no. 3. P. 475–494. doi: 10.1007/s10883-015-9271-x
12. Davydov A.A., Vinnikov E.V. Optimal cyclic dynamic of distributed population under permanent and impulse harvesting // Dynamic Control and Optimiz. (DCO 2021): Proc. 2023. P. 101–112. (Ser. Springer Proc. Math. & Stat.; vol. 407). doi: 10.1007/978-3-031-17558-9_5
13. Du Y., Peng R. The periodic logistic equation with spatial and temporal degeneracies // Trans. Amer. Math. Soc. 2012. Vol. 364, no. 11. P. 6039–6070. doi: 10.1090/S0002-9947-2012-05590-5
14. Medina P.K. Feedback stabilizability of time-periodic parabolic equations // Dynamics Reported / eds. C.K.R.T. Jones, U. Kirchgraber, H.O. Walther. Berlin; Heidelberg: Springer, 1996. P. 26–98. (Ser. Expositions in Dynamical Systems; vol. 5). doi: 10.1007/978-3-642-79931-0_2
15. Туницкий Д.В. Эксплуатация возобновляемого ресурса, распределенного на поверхности Земли // Междунар. конф. “Системный анализ: моделирование и управление”, посвященная памяти акад. А. В. Кряжимского (Москва, 23, 24 января 2024 г.): тез. докл. / МГУ имени М.В. Ломоносова. Москва: МАКС Пресс, 2024. С. 113–114. doi: 10.29003/m3791.978-5-317-07128-8
16. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика. 1937. Т. 1, № 6. С. 1–26.
17. Fisher R.A. The Wave of advance of advantageous genes // Annals of Eugenics. 1937. Vol. 7, no. 4. P. 353–369. doi: 10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x
18. Fourier J.B.J. Theorie Analytique de la Chaleur. Paris: F. Didot, 1822. 674 p.
19. Винников Е.В., Давыдов А.А., Туницкий Д.В. Существование максимального среднего временного сбора в КПП-модели на сфере при постоянном и импульсном отборах // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2023. T. 514, № 1. C. 59–64. doi: 10.31857/S2686954323600453
20. Туницкий Д.В. О разрешимости полулинейных эллиптических уравнений второго порядка на замкнутых многообразиях // Изв. РАН. Сер. математическая. 2022. Т. 86, № 5. P. 97–115. doi: 10.4213/im9261
21. Туницкий Д.В. О стабилизации решений полулинейных параболических уравнений второго порядка на замкнутых многообразиях // Изв. РАН. Сер. математическая. 2023. Т. 87, № 4. P. 186–204. doi: 10.4213/im9354
22. Davydov A.A., Platov A.S. Optimal stationary solution in forest management model by accounting intra-species competition // Mosc. Math. J. 2012. Vol. 12, no. 2. P. 269–273. doi: 10.17323/1609-4514-2012-12-2-269-273
23. Давыдов А.А., Платов А.С. Оптимальная эксплуатация двух структурированных по размеру конкурирующих популяций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. P. 89–94.
24. Tarniceriu O.C., Veliov V.M. Optimal control of a class of size-structured systems // Large-Scale Scientific Computing (LSSC 2007): Proc. / eds. I. Lirkov, S. Margenov, J. Wasniewski. Berlin; Heidelberg: Springer, 2007. P. 366–373. (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol 4818). doi: 10.1007/978-3-540-78827-0_41
25. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 c.
26. Беляков А.О., Давыдов А.А. Оптимальный циклический сбор распределенного возобновляемого ресурса с диффузией // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. P. 64–73. doi: 10.4213/tm4246
27. Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН. 2007. Т. 257. P. 3–271.
28. Асеев С.М., Вельов В.М. Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 3–54. doi: 10.4213/rm9915
29. Давыдов А.А., Нассар А.Ф. О стационарном состоянии в динамике популяции с иерархической конкуренцией // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69, № 6. С. 179–180. doi: 10.4213/rm9631
Поступила 24.03.2024
После доработки 13.06.2024
Принята к публикации 17.06.2024
Давыдов Алексей Александрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва;
Международный институт прикладного системного анализа (IIASA)
г. Лаксенбург, Австрия
e-mail: davydov@mi-ras.ru
Платов Антон Сергеевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Национальный исследовательский технологический университет МИСИС, г. Москва
e-mail: platovmm@mail.ru
Туницкий Дмитрий Васильевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва
e-mail: dtunitsky@yahoo.com
Ссылка на статью: А.А. Давыдов, А.С. Платов, Д.В. Туницкий. Существование оптимального стационарного решения в КПП-модели при нелокальной конкуренции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 113-121
English
A.A. Davydov, A.S. Platov, D.V. Tunitsky. Existence of an optimal stationary solution in the KPP model under nonlocal competition
We consider a resource distributed on a compact closed connected manifold without edge, for example, on a two-dimensional sphere representing the Earth surface. The dynamics of the resource is governed by a model of the Fisher–Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov type with coefficients in the reaction term depending on the total amount of the resource, which makes the model equation nonlocal. Under natural assumptions about the model parameters, it is shown that there is at most one nontrivial nonnegative stationary distribution of the resource. Moreover, in the case of constant distributed resource harvesting, there is a harvesting strategy under which such a distribution maximizes the time-averaged resource harvesting over the stationary states.
Keywords: KPP model, stationary solution, time-averaged harvesting, optimal strategy
Received March 24, 2024
Revised June 13, 2024
Accepted June 17, 2024
Alexey Alexandrovich Davydov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992 Russia; International Institute for Applied Systems Analysis (IIASA), Schlossplatz 1, 2361, Laxenburg, Austria, e-mail: davydov@mi-ras.ru
Anton Sergeevich Platov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), National University of Science and Technology MISIS, Moscow, 119049 Russia, e-mail: platovmm@mail.ru
Dmitry Vasilievich Tunitsky, Dr. Phys.-Math. Sci., V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, e-mail: dtunitsky@yahoo.com
Cite this article as: A.A. Davydov, A.S. Platov, D.V. Tunitsky. Existence of an optimal stationary solution in the KPP model under nonlocal competition. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 113–121.
[References -> on the "English" button bottom right]
