УДК 517.977
MSC: 49K15, 91B62
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-29-43
Рассматривается модель оптимального экономического роста, в которой природный капитал выступает в качестве основного производственного фактора. Эволюция природного капитала описывается логистическим уравнением Ферхюльста, а экономический выпуск моделируется посредством производственной функции типа Кобба — Дугласа. Учитывая негативные экономические последствия деградации природного капитала, модель предполагает, что только часть общего выпуска, уменьшенная с учетом функции ущерба, доступна для потребления. Модель формулируется в виде задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом. Основные трудности рассмотрения данной задачи связаны с бесконечным горизонтом планирования, неограниченностью множества геометрических ограничений на управление, особенностью в целевом интегральном функционале и тем, что гамильтониан задачи не является вогнутой функцией фазовой переменной. Основной результат работы — теорема о существовании и локальной ограниченности оптимального допустимого управления.
Ключевые слова: оптимальное управление, экономический рост, природный капитал, бесконечный горизонт, существование оптимального управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Barbier B.E. Capitalizing on nature: ecosystems as natural assets. Cambridge, NY: Cambridge University Press, 2011. 321 p. ISBN: 978-0-521-18927-9 .
2. Schumacher E.F. Small is beautiful: economics as if people mattered. London: Blond & Briggs, 1973. 223 p.
3. Nordhaus W.D. Managing the global commons: the economics of climate change. Cambridge, MA: MIT Press, 1994. 213 p. ISBN-10: 0262140551 .
4. Aseev S., Manzoor T. Optimal exploitation of renewable resources: lessons in sustainability from an optimal growth model of natural resource consumption // Essays in Honor of Vladimir M. Veliov / eds. G. Feichtinger, R. Kovacevic, G. Tragler. Cham: Springer, 2018. Ser. Lect. Notes Econ. Math. Syst., vol. 687. P. 221–245. https://doi.org/10.1007/978-3-319-75169-6_11
5. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement // Correspondance mathematique et physique. 1838. Vol. 10. P. 113–121.
6. Cobb C.W., Douglas P.H. A theory of production // The American Economic Review. 1928. Vol. 18, no. 1. Suppl. Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association (Mar., 1928). P. 139–165. https://www.jstor.org/stable/1811556
7. Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67, № 2. С. 3–64.
8. Carlson D.A., Haurie A.B., Leizarowitz A. Infinite horizon optimal control. Deterministic and stochastic systems. Berlin: Springer, 1991. 332 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-76755-5
9. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 p.
10. Seierstad A., Sydsaeter K. Sufficient conditions in optimal control theory // Inter. Econom. Review. 1977. Vol. 18, no. 2. P. 367–391.
11. Balder E.J. An existence result for optimal economic growth problems // J. Math. Anal. Appl. 1983. Vol. 95, no. 1. P. 195–213.
12. Lavrentiev M. Sur quelques problemes du calcul des variations // Ann. Matem. Pura Appl. 1926. Vol. 4.
P. 7–28.
13. Асеев С.М. Существование оптимального управления в задачах на бесконечном интервале времени с неограниченным множеством ограничений на управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 18–27.
14. Асеев С.М. Об ограниченности оптимальных управлений в задачах на бесконечном интервале времени // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 45–55.
15. Асеев С.М. Функция условной стоимости и необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 514, № 1. C. 5–11. https://doi.org/10.31857/S2686954323700315
16. Асеев С.М., Вельов В.М. Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // Уcпехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 3–54. https://doi.org/10.4213/rm9915
17. Aseev S.M., Veliov V.M. Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 41–57.
Поступила 12.01.2026
После доработки 21.01.2026
Принята к публикации 26.01.2026
Асеев Сергей Миронович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Математический институт имени В.А. Стеклова Российской академии наук
г. Москва
e-mail: aseev@mi-ras.ru
Ссылка на статью: С.М. Асеев. О существовании оптимального управления в одной модели экономического роста на основе природного капитала // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 29–43
English
S.M. Aseev. On the existence of optimal control in a model of economic growth based on natural capital
The model of optimal economic growth is considered, in which natural capital serves as the primary factor of production. The evolution of natural capital is described using the logistic Verhulst equation, while economic output is modeled using a Cobb-Douglas type production function. Taking into account the negative economic impact of natural capital degradation, the model assumes that only a portion of total output, reduced according to a damage function, is available for consumption. Key challenges in analyzing this problem arise from several factors: the infinite time horizon itself, the unbounded nature of the geometric control constraints, the singularity in the objective functional, and the non-concavity of the Hamiltonian with respect to the phase variable. The main contribution of the paper is the theorem that proves the existence and local boundedness of an optimal admissible control.
Keywords: optimal control, economic growth, natural capital, infinite horizon, existence of optimal control
Received January 12, 2026
Revised January 21, 2026
Accepted January 26, 2026
Sergey Mironovich Aseev, Dr. Phys.-Math. Sci., Principal research scholar, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia, e-mail: aseev@mi-ras.ru
Cite this article as: S.M. Aseev. On the existence of optimal control in a model of economic growth based on natural capital.Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 29–43.
[References -> on the "English" button bottom right]
