УДК 517.977.58
MSC: 34H05, 37M05, 37N35, 93C15, 93B11
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-9-28
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения № 075-02-2026-737).
Исследуется задача управления динамической системой, а именно задача о сближении с заданным целевым множеством на конечном промежутке времени в условиях, когда правая часть системы дифференциальных уравнений точно не известна и заменяется на достаточно близкую, но более простую систему дифференциальных уравнений. Показано, что такая замена правой части более простой правой частью не приводит к существенному ухудшению результата в приведении движения системы на заданное целевое множество. Полученные теоретические оценки проиллюстрированы на конкретном примере.
Ключевые слова: управляемая система, множество достижимости, ломаная Эйлера, хаусдорфово расстояние
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский М.С. О зависимости множества достижимости линейного управляемого объекта от возмущений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2.
C. 155–161. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-155-161
2. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Ушаков А.В. Об интегральных воронках управляемых систем, изменяемых на нескольких малых участках // Прикл. математика и информатика. 2023. Т. 87, № 5.
C. 829–861. https://doi.org/10.31857/S0032823523050156
3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 c.
4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. О структуре игровых задач динамики // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, № 1. С. 110–122.
5. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами // Прикл. математика и механика. 1968. Т. 32, № 2. С. 194–202. https://doi.org/10.1016/0021-8928(68)90119-6
6. Азамов А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла Понтрягина // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 2. С. 265–268.
7. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина // Мат. сб. 1981. Т. 116, № 1. С. 136–144.
8. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат. сб. 1985. Т. 128, № 1. С. 35–49.
9. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх: I // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6.
С. 1278–1281.
10. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх: II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4.
С. 764–766.
11. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Ушаков А.В., Матвийчук А.Р. Некоторые задачи сближения нелинейных управляемых систем в фиксированный момент времени // Изв. ИМИ УдГУ. 2023. Т. 62.
С. 125–155. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2023-62-09
12. Ушаков В.Н., Ушаков А.В., Кувшинов О.А. О конструировании разрешающего управления в задаче о сближении в фиксированный момент времни // Изв. ИМИ УдГУ. 2021. Т. 58.
С. 73–93. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2021-58-05
13. Ушаков В.Н., Ушаков А.В. О сближении управляемой системы на конечном промежутке времени // Изв. ИМИ УдГУ. 2022. Т. 60. С. 111–154. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2022-60-07
14. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Современная теория колебаний и волн. М.: Физматлит, 2006. 355 с.
Поступила 10.02.2026
После доработки 12.03.2026
Принята к публикации 16.03.2026
Алексеев Александр Владимирович
ведущий инженер-конструктор
АО ОКБ “Новатор”
г. Екатеринбург
e-mail: sztern987@gmail.com
Ершов Александр Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ale10919@yandex.ru
Ушаков Владимир Николаевич
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ushak@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.В. Алексеев, А.А. Ершов, В.Н. Ушаков. О влиянии замены правой части управляемой системы на точность решения задачи о сближении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 9–28
English
A.V. Alekseev, A.A. Ershov, V.N. Ushakov. On influence of control system right-hand side replacement on the accuracy in approaching problem
The control problem for a dynamic system is studied, specifically, the problem of approaching to a given target set over a finite time interval when the right-hand side of differential equations system isn’t precisely known and it’s replaced by a simpler one. It’s shown that replacement of the right-hand side of differential equations system with a simpler one doesn’t significantly degrade the result in the process of reaching the original system’s motion to a given target set. The resulting theoretical estimates are illustrated with a specific example.
Keywords: control system, reachable set, Euler’s polyline, Hausdorff distance
Received February 10, 2026
Revised March 12, 2026
Accepted March 16, 2026
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2026-737).
Aleksandr Vladimirovich Alekseev, Leading Design Engineer, Experimental Machine-Design Bureau “Novator”, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: sztern987@gmail.com
Aleksandr Anatol’evich Ershov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru
Vladimir Nikolaevich Ushakov, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru
Cite this article as: A.V. Alekseev, A.A. Ershov, V.N. Ushakov. On influence of control system right-hand side replacement on the accuracy in approaching problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 9–28.
[References -> on the "English" button bottom right]
