УДК 517.977
MSC: 46F10, 46F30
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-185-199
В.К. Ивановым в ряде работ построена вещественная, ассоциативная, коммутативная, дифференциальная алгебра, порожденная простейшими распределениями (обобщенными функциями) с особенностями в нуле. Значения произведений при $x\ne 0$ не изменяются. Следуя идеям С.Л. Соболева, М. Сато, Г. Бремермана, каждому распределению ставится в соответствие его представление Пуассона, которое есть гармоническая функция в верхней полуплоскости. Произведение гармонических функций в редких случаях есть гармоническая функция. В алгебре произведений гармонических функций, соответствующих простейшим распределениям, построен мультипликативный гомоморфизм (регуляризатор), ставящий в соответствие произведению гармонических функций гармоническую функцию, что есть представление Пуассона некоторой простейшей обобщенной функции. Тем самым определено произведение распределений. Причем доказано, что такой гомоморфизм единственный. В предлагаемой работе строится параметрическое семейство регуляризаторов, порождающих вещественную, коммутативную, дифференциальную алгебру простейших распределений с особенностями в нуле. Ассоциативность произведений и сохранение значений при $x\ne 0$ не предполагается. Получены соотношения между произведениями простейших обобщенных функций и распределениями.
Ключевые слова: произведения простейших обобщенных функций, преобразование Пуассона, регуляризатор.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schwartz L. Theorie des distributions. Hermann; Paris, vol. I, 1950, 148 p; vol II, 1951, 169 p.
2. Schwartz L. Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions, Schwartz L. Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions // C.R. Acad. Sci. Paris. 1954. Vol. 239. P. 847–848.
3. Bremermann H.J. Some remarks on analytic representations and prodacts of distributions // SIAM J. Appl. Math. 1967. Vol 15, no. 4. P. 929–943. https://doi.org/10.1137/0115083
4. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. 276 с.
5. Соболев С.Л. Задача Коши в пространстве функционалов // Докл. АН СССР. 1935. Т. 3. С. 291–294.
6. Mikusinski J. On the square of the Dirac delta-distribution // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1966. Vol. 14, no. 9. P. 511–513.
7. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. М.: Мир, 1976. 311 с.
8. Sato M. Theory of hyperfunctions I,II // J. Fac. Sci. Univ. Tokio. 1959. Vol. I. P. 139–193; 1960. Vol. II. P. 387–437.
9. Иванов В.К. Умножение распределений и регуляризация расходящихся интегралов, Изв. вузов. Математика. 1971. № 3. С. 41–49.
10. Иванов В.К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, № 5. С. 1045–1048.
11. Иванов В.К. Алгебра, порождаемая функцией Хевисайда и дельта-функциями, Изв. вузов. Математика. 1977. № 10. С. 65–69.
12. Иванов В.К. Ассоциативная алгебра простейших обощенных функций // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 4. С. 731–740.
13. Colombeau J.-F. Elementary introduction to new generalized functions. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1985. 285 p.
14. Дерр В.Я., Кинзебулатов Д.М. Динамические обобщенные функции и проблема умножения. Изв. вузов, Математика. 2007. № 5. С. 33–45.
15. Антоневич А.Б., Шагова Т.Г. Умножение распределений и алгебры мнемофункций // Современная математика. Фундаментальные направления. 2019. Vol. 65, № 3. P. 339–389.
16. Dias N.C., Jorge C., Prata J.N. An existence and uniqueness result about algebras of Schwartz distributions // Monatshefte für Mathematik. 2024. Vol. 203. P. 43–61. https://doi.org/10.1007/s00605-023-01917-z
17. Miteva M., Koceva Lazarova L., Zlatanovska B, Stojkovikj N. Products of distributions in Colombeau algebra // Asian-European J. Math. 2024. Vol. 17, no. 7. Art. no. 2450048. https://doi.org/10.1142/S1793557124500487
18. Chaib M., Taqbibt M., Melliani S., El Omari M. Colombeau algebras of asymptotically almost automorphic generalized functions: Properties and applications // Analysis. 2025. Vol. 45, no. 2. P. 105–114.
https://doi.org/10.1515/anly-2023-0030
19. Fisher B. Products of generalized functions // Studia Math. 1969. Vol. 33, no. 2. p. 227–230.
20. Gonsalez-Domingez A.,Scarfiello R. Nota sobre la formula v.p.$\dfrac{1}{x}\delta=-\dfrac{1}{2}\delta'$ // Rev. de la Union Matem. Argen. 1956. Vol. XVII. P. 53–67.
Поступила 21.02.2025
После доработки 7.08.2025
Принята к публикации 18.08.2025
Макаров Анатолий Васильевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
деп. математики, механики и комп. наук
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: anatoliy.makarov@urfu.ru
Ссылка на статью: А.В. Макаров. Параметрические семейства регуляризаторов произведений простейших обобщенных функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 185–199.
English
A.V. Makarov. Parametric families of regularizers for products of elementary generalized functions
V.K. Ivanov, in a series of works, constructed a real, associative, commutative, differential algebra generated by elementary distributions (generalized functions) with singularities at the origin. The values of products for $x\ne$ remain unchanged. Following ideas of S.L. Sobolev, M. Sato, and G. Bremermann, each distribution is associated with its Poisson representation, which is a harmonic function in the upper half-plane. The product of harmonic functions is harmonic only in rare cases. In the algebra of products of harmonic functions corresponding to elementary distributions, a multiplicative homomorphism (a regularizer) is constructed that assigns to the product of harmonic functions a harmonic function which is the Poisson representation of some elementary generalized function. Thus a product of distributions is defined. Moreover, it is proved that such a homomorphism is unique. In the present work, a parametric family of regularizers is constructed that generates a real, commutative, differential algebra of elementary distributions with singularities at the origin. Associativity of products and preservation of values for $x\ne$ are not assumed. Relations are obtained between the products of elementary generalized functions and distributions.
Keywords: products of elementary generalized functions, Poisson transform, regularizer.
Received February 20, 2025
Revised August 7, 2025
Accepted August 18, 2025
Anatoliy Vasilievich Makarov, Cand. Sci. (Phys-Math), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: anatoliy.makarov@urfu.ru
Cite this article as: A.V. Makarov. Parametric families of regularizers for products of elementary generalized functions. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 185–199.
[References -> on the "English" button bottom right]
