УДК 517.518.86
MSC: 26A33, 32A15, 41A17
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-167-184
В статье рассматриваются дробные степени порядка $\alpha>0$ лапласиана Данкля и оператора Лапласа (производные Рисса) на классах целых функций экспоненциального сферического типа одной и нескольких переменных. Изучаются различные определения этих дробных степеней: при помощи множителя Фурье (Фурье – Данкля), гиперсингулярных интегралов, интерполяционных формул, содержащих обычные и обобщенные сдвиги с равномерными и неравномерными шагами. Исследована взаимосвязь между дробной степенью лапласиана Данкля и производной Рисса для функций одной и нескольких переменных. Исследуются точные неравенства Бернштейна для этих операторов. Ранее С.С. Платонов (2007) установил точное неравенство для лапласиана Данкля ($\alpha=2$) на множестве четных функций. О.Л. Виноградов (2023) доказал точные неравенства для дробной степени лапласиана Данкля и производной Рисса функций нескольких переменных при $\alpha\ge 1$. В данной статье получены точные неравенства Бернштейна для дробной степени лапласиана Данкля и производной Рисса функций нескольких переменных при $0<\alpha<1$. Инструментом доказательства являются интерполяционные формулы, содержащие обобщенные сдвиги Данкля с неравномерными шагами — нулями функций Бесселя.
Ключевые слова: производная Рисса, лапласиан Данкля, целые функции экспоненциального сферического типа, неравенство Бернштейна, равномерная норма.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М., Наука, 1968. 208 с.
2. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Fractional smoothness in $L^p$ with Dunkl weight and its applications // Math. Notes. 2019. Vol. 106, no. 4. P. 537–561. https://doi.org/10.1134/S0001434619090232
3. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196. https://doi.org/10.4213/im720
4. Виноградов О.Л. Точные неравенства типа Бернштейна для мультипликаторов Фурье – Данкля // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 1. С. 3–30. https://doi.org/10.4213/sm9724
5. Горбачёв Д.В. Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье – Данкля и его обобщения // Чебышёв. сб. 2023. Т. 24, № 2. С. 141–153. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-141-153
6. Arestov V.V., Babenko A.G., Deikalova M.V., Horvát Á. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Analysis Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0103-6
7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Иностр. лит., 1949. 798 p.
8. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1–51. https://doi.org/10.1007/s00365-018-9435-5
9. Горбачёв Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^p(\mathbb{R},|x|^\alpha dx)$ // Чебышёв. сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 67–79. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79
10. Rösler M. Bessel-type signed hypergroups on $\mathbb R$ // Probability measures on groups and related structures XI / eds. H. Heyer, A. Mukherjea.: Proc. (Oberwolfach 1994). Singapore: World Scientific, 1995. P. 292–304.
11. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука: гл. ред. физ.-мат. литературы, 1977. 456 p.
12. Бернштейн С.Н. Об одном свойстве целых функций: собрание соч. Т. 1: Конструктивная теория функций. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 582 с.
13. Горбачёв Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 2. P. 179–187.
14. Лизоркин П.И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1965. Т. 4, № 3. C. 109–126.
15. Соколов Г.Т. О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. VII серия. Отд. мат. и ест. наук. 1935. Вып. 6-7. С. 857–884.
16. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math. J. 1941. Vol. 8. P. 656–665.
17. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов. ун-та, 1984, 208 с.
18. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 638 с.
19. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961. 936 p.
20. Szegő G. Uber einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schrift. KЈonigsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. J. 5, H. 4. S. 59–70.
21. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литературы, 1965. 409 p.
22. Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна для производной Рисса порядка 0 < α < 1 целых функций экспоненциального типа в равномерной норме // Мат. заметки. 2024. Т. 115, № 2. С. 245–256. https://doi.org/10.4213/mzm13959
23. Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60, no. 201. P. 303–316. https://doi.org/10.2307/2153168
24. Камзолов А. И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах // Мат. заметки. 1974. Т. 15, № 6. C. 967–978.
25. Горбачёв Д. В. Точные неравенства Бернштейна – Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышёв. сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 58–110.
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-58-110
26. Горбачёв Д. В., Иванов В. И. Константы Никольского – Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 75–87. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-2-75-87
Поступила 31.03.2025
После доработки 16.06.2025
Принята к публикации 23.06.2025
Леонтьева Анастасия Олеговна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: lao-imm@yandex.ru
Ссылка на статью: А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна для дробных степеней одномерного лапласиана Данкля и многомерного оператора Лапласа целых функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 167–184.
English
Leont’eva A.O. Bernstein inequality for fractional powers of univariate Dunkl Laplacian and multivariate Laplace operator of entire functions
We consider fractional powers of order $\alpha>0$ of the Dunkl Laplacian and the Laplace operator (Riesz derivatives) on classes of entire functions of exponential spherical type of one and many variables. The present study investigates various definitions of these fractional powers, including those involving Fourier (Fourier–Dunkl) multipliers, hypersingular integrals, interpolation formulas containing usual and generalized translations with equidistant and non-equidistant steps. We examine the interrelations between the fractional powers of the Dunkl Laplacian and Riesz derivatives for functions of one and many variables. Sharp Bernstein inequalities for these operators are explored. The study delves into the exploration of sharp Bernstein inequalities for these operators. Earlier, S.S. Platonov (2007) obtained a sharp inequality for the Dunkl Laplacian ($\alpha=2$) on the set of even functions. O.L. Vinogradov (2023) proved sharp inequalities for the fractional powers of the Dunkl Laplacian and Riesz derivatives of functions of several variables for $\alpha\ge 1$. In this paper, we obtain sharp Bernstein inequalities for the fractional powers of the Dunkl Laplacian and Riesz derivatives of functions of several variables for $0<\alpha<1$. The tools for the proof are interpolation formulas containing generalized Dunkl translations with non-equidistant steps, which are zeros of Bessel functions.
Keywords: Riesz derivative, Dunkl Laplacian, entire functions of exponential spherical type, Bernstein inequality, uniform norm.
Received March 31, 2025
Revised June 16, 2025
Accepted June 23, 2025
Anastasiya Olegovna Leont’eva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: lao-imm@yandex.ru
Cite this article as: Leont’eva A.O. Bernstein inequality for fractional powers of univariate Dunkl laplacian and multivariate Laplace operator of entire functions. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 167–184.
[References -> on the "English" button bottom right]
