УДК 512.577
MSC: 20M30
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-77-89
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-11-00052).
В работе найдены точные представления конечного унара (алгебры с одной унарной операцией на конечном носителе) в некоторых стандартных конструкциях. Доказано, что всякий конечный унар может быть точно представлен остатками от деления на $n$ с унарной операцией $f(x)= x\cdot a \,\mod n$ при подходящих $a$ и $n$. Кроме того, для каждого натурального $d \ge 2$ существует точное представление любого конечного унара остатками от деления на $n$ с унарной операцией $f(x)=x^d \, \mod n$ при подходящем $n$. Далее, для любого $d\ge 3$ всякий конечный унар может быть точно представлен обратимыми остатками от деления на $n$ с операцией $f(x)=x^d \, \mod n$ при подходящем $n$ (при $d=2$ данное утверждение неверно).
Ключевые слова: представление унара
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва: Наука, 1977. 240 с.
2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. Москва: Мир, 1972. Т. 1, 286 р.; Т. 2, 423 с.
3. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. Москва: Наука, 1969. 668 с.
4. Steinberg B. Representation theory of finite monoids. Cham: Springer, 2016. 317 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-43932-7
5. Whitman P.M. Lattices, equivalence relations, and subgroups // Bull. Amer. Math. Soc. 1946. Vol. 52, no. 6. P. 507–522.
6. Кожухов И.Б., Михалёв А.В. Полигоны над полугруппами // Фундам. и прикл. математика. 2020. Т. 23, no. 3. С. 141–199.
7. Zelinka B. Graphs of semigroups. // Časopis pro pěstování matematiky. 1981. Vol. 106, no. 4. P. 407–408. https://doi.org/10.21136/CPM.1981.108493
8. Lucheta C., Miller E., Reiter C. Digraphs from powers modulo p // Fibonacci Q. 1996. Vol. 34, no. 3. P. 226–239. https://doi.org/10385/f4752j454
9. Wilson B. Power digraphs modulo p // Fibonacci Q. 1998. Vol. 36, no. 3. P. 229–239.
10. Min Sha. On the cycle structure of repeated expontiation modulo a prime power // Fibonacci Q. 2011. Vol. 49, no. 4. P. 340–347. https://doi.org/10.1080/00150517.2011.12428034
11. Somer L., Křížek M. The structure of digraphs associated with the congruence $x^k \equiv y \pmod n)$ // Czechoslovak Math. J. 2011. Vol. 61, no. 2. P. 337–358. https://doi.org/10.1007/s10587-011-0079-x
12. Martin G., Pomerance C.B. The iterated Carmichael λ-function and the number of cycles of the power generator // Acta Arithmetica. 2005. Vol. 118, no. 4. P. 305–335. https://doi.org/10.4064/aa118-4-1
13. Kurlberg P., Pomerance C.B. On the periods of the linear congruential and power generators // Acta Arithmetica. 2005. Vol. 119, no. 2. P. 149–169. https://doi.org/10.4064/aa119-2-2
14. Parker E.T. On multiplicative semigroups of residue classes // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5, no. 4. P. 612–616.
15. Слободской Г., Лецко В.А. О представлении конечных унаров в $\mathbb Z_n$ // Вестник СНО: сб. ст. / Волгоград. гос. педагог. ун-т. Сер. “Математика и техника”. № 7. Волгоград: Изд-во “Перемена 1995. С. 3–6.
16. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. Москва : Наука (Физматлит), 1985. 504 с.
17. Лецко В.А. От задачи к исследованию. СПб.: СМИО Пресс, 2021. 336 с.
Поступила 25.09.2024
После доработки 11.02.2025
Принята к публикации 17.02.2025
Кожухов Игорь Борисович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Нац. исслед. университет МИЭТ;
механико-математический факультет МГУ;
Гос. академия нар. хоз-ва и гос. службы
г. Москва
e-mail: kozhuhov_i_b@mail.ru
Лецко Владимир Александрович
канд. пед. наук, доцент
Волгоградский гос. соц.-педагог. университет
г. Волгоград
e-mail: val-etc@yandex.ru
Ссылка на статью: И.Б. Кожухов, В.А. Лецко. Представления унаров множеством вычетов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 77-89
English
I.B. Kozhukhov, V.A. Letsko. Representation of unars by sets of residues
We find faithful representations of a finite unar (an algebra with one unary operation on a finite set) in some standard constructions. We prove that every finite unar can be faithfully represented by the residues modulo $n$ with the operation $f(x)= x\cdot a \,\mod n$ for suitable $n$ and $a$. Besides, for every integer $d\ge 2$, there exists a faithful representation of every finite unar by residues modulo $n$ with the operation $f(x)= x^d \,\mod n$ for suitable $n$. Further, for any $d\ge 3$, every finite unar can be faithfully presented by invertible residues modulo $n$ with the operation $f(x)= x^d \,\mod n$ for suitable $n$. (The later assertion is not true for $d=2$).
Keywords: representations of unar
Received September 25, 2024
Revised February 11, 2025
Accepted February 17, 2025
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-11-00052).
Igor Borisovich Kozhukhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Nat. Res. Univ. MIET; Fac. of Mech. and Math. of Moscow State Univ.; Russian Presidental Academy of Nat. Econom. and Public Admin., Moscow, Russia, e-mail: kozhuhov_i_b@mail.ru
Vladimir Alexandrovich Letsko, Cand. Sci. (Pedagog.), Volgograd State Socio-pedagogical University Volgograd, Russia, e-mail: val-etc@yandex.ru
Cite this article as: I.B. Kozhukhov, V.A. Letsko. Representation of unars by sets of residues. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 77–89.
