УДК 519.145
MSC:17D99, 16K20, 15A04, 51E15, 51A35
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-90-100
Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2024-1429).
Изучается известная гипотеза Д. Хьюза 1959 г. о разрешимости полной группы коллинеаций недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (также вопрос 11.76 Н.Д. Подуфалова в Коуровской тетради). Эта гипотеза редуцируется к группе автотопизмов, состоящей из коллинеаций, фиксирующих треугольник. Завершено описание диэдральных и кватернионных подгрупп автотопизмов порядка 8 без центральных коллинеаций в случае нечетного порядка полуполевой плоскости. Указано матричное представление и геометрический смысл порождающих элементов и условия на регулярное множество плоскости. Приведены примеры полуполевых плоскостей порядка 81. Результаты могут быть использованы для изучения полуполевых плоскостей, допускающих подгруппы автотопизмов из списка Д.Г. Томпсона минимальных простых групп.
Ключевые слова: полуполевая плоскость, полуполе, регулярное множество, гомология, группа автотопизмов, бэровская инволюция, группа кватернионов, группа диэдра, проблема Хьюза
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Johnson N.L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. Boca Raton; London; NY: Chapman & Hall /CRC, 2007. 861 p.
2. Cáceres J.M.H., Rúa I.F. An approach to the classification of finite semifields by quantum computing // Non-associative algebras and related topics (NAART 2020): Proc. Cham: Springer, 2023. P. 245–260. (Ser. Springer Proc. in Math. & Stat.; vol. 427).
https://doi.org/10.1007/978-3-031-32707-0_16
3. Hui A.M.W., Tai Y.K., Wong P.P.W. On the autotopism group of the commutative Dickson semifield and the stabilizer of the Ganley unital embedded in the semifield plane $\Pi(\mathcal{K})$// Innovations in Incidence Geometry 2015. Vol. 14, no. 1. P. 27–42. https://doi.org/10.2140/iig.2015.14.27
4. Meléndez W., Delgado A.R. On a conjecture about the autotopism group of the Figueroa’s presemifields of order $p^n$ // Note di Matematica 2018. Vol. 38, no. 2. P. 11–20. https://doi.org/10.1285/i15900932v38n2p11
5. Meléndez W., Figueroa R. On the autotopism group of the Cordero-Figueroa semifield of order $3^6$ // Discus. Math. General Algebra and Appl., 2016. Vol. 36. P. 117–126. https://doi.org/10.7151/dmgaa.1250
6. Combarro E., Nicolás A.P., Ranilla J., Rúa I.F. On finite division rings with a designed automorphism group // Math. Meth. Appl. Sci. 2020. Vol. 43, no. 7. P. 3982–3994. https://doi.org/10.1002/mma.6167
7. Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. NY Inc.: Springer-Verlag, 1973. 292 p.
8. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro. 20th ed. [e-resource]. Linkoln; Novosibirsk: University of Lincoln, U.K.; Inst. Math. SO RAN Publ., 2024. 274 p. URL: https://kourovka-notebook.org/ .
9. Kravtsova O.V., Skok D.S. Linear autotopism subgroups of semifield projective planes // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2023. Vol. 16, no. 6. P. 705–719. URL: https://elib.sfu-kras.ru/handle/2311/151860 .
10. Podufalov N.D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, Part 1. P. 697–705.
11. Luneburg H. Translation planes. NY: Springer-Verlag, 1980. 278 p.
12. Biliotti M., Jha V., Johnson N.L., Menichetti G. A structure theory for two-dimensional translation planes of order $q^2$ that admit collineation group of order $q^2$ // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 29. P. 7–43. https://doi.org/10.1007/BF00147468
13. Goldschmidth D.M. 2-fusion in finite groups // Ann. Math. 1974. Vol. 99, no. 1, P. 70–117. https://doi.org/10.2307/1971014
14. Gorenstein D. Finite simple groups. An introduction to their classification. NY: Plenum Press, 1982. 352 p.
15. Кравцова О.В., Шевелева И.В. О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях // Чебышевский сб. 2020. Т. 20, № 3. С. 316–332. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-316-332
Поступила 1.10.2024
После доработки 8.10.2024
Принята к публикации 14.10.2024
Кравцова Ольга Вадимовна
д-р физ.-мат. наук, доцент
заведущий кафедрой высшей математики № 2
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета
г. Красноярск
e-mail: ol71@bk.ru
Скок Дарья Сергеевна
аспирант
Институт вычислительного моделирования СО РАН
г. Красноярск
e-mail: skokdarya@yandex.ru
Ссылка на статью: О.В. Кравцова, Д.С. Скок. Неабелевы подгруппы автотопизмов порядка 8 полуполевых проективных плоскостей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 90-100
English
O.V. Kravtsova, D.S. Skok. Non-Abelian autotopism subgroups of order 8 of semifield projective planes
We study the well-known hypothesis of D.R. Hughes that the full collineation group of a finite-order non-Desarguesian semifield projective plane is solvable (see also N.D. Podufalov’s Question 11.76 in the Kourovka Notebook). This hypothesis is reduced to the autotopism group that consists of collineations fixing a triangle. We complete the description of perspectivity-free dihedral and quaternion autotopism subgroups of order 8 in the case of an odd-order semifield plane. A matrix representation and a geometric meaning of generating elements are given together with conditions for the spread set of the plane. Examples of semifield planes of order 81 are presented. The results can be used in the study of semifield planes with autotopism subgroups from J.G. Thompson’s list of minimal simple groups.
Keywords: semifield plane, semifield, spread set, homology, autotopism group, Baer involution, quaternion group, dihedral group, Hughes problem
Received October 1, 2024
Revised October 8, 2024
Accepted October 14, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2024-1429).
Olga Vadimovna Kravtsova, Dr. Phys.-Math. Sci., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ol71@bk.ru
Daria Sergeevna Skok, Institute of Computational Modeling SB RAS, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: skokdarya@yandex.ru
Cite this article as: O.V. Kravtsova, D.S. Skok. Non-Abelian autotopism subgroups of order 8 of semifield projective planes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 90–100.
