УДК 517.542
MSC: 20B25, 20D05, 05E30
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-1-fon-04
Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики СО РАН, тема FWNF-2022-0002
К 95-летию Михаила Ивановича Каргаполова
Группа $G$ подстановок конечного множества $\Omega$ покомпонентно действует на декартовом квадрате $\Omega^2$. Наибольшая подгруппа в Sym$(\Omega)$, имеющая на $\Omega^2$ те же орбиты, что и сама $G$, называется $2$-замыканием группы $G$. Рангом группы $G$ называется число ее орбит на $\Omega^2$. Если ранг группы $G$ равен $3$, а порядок четен, то с точностью до взятия дополнения определен неориентированный граф с множеством вершин $\Omega$, у которого в качестве множества ребер берется одна из двух недиагональных орбит группы $G$ на $\Omega^2$. Такой граф называется графом ранга $3$. Полная группа автоморфизмов этого графа совпадает с $2$-замыканием группы $G$ и содержит $G$ в качестве подгруппы. На данный момент за исключением случая, когда $G$ - почти простая группа, имеется явное описание $2$-замыканий групп $G$ ранга $3$ . В данной работе мы восполняем имеющийся пробел, тем самым завершая и описание полных групп автоморфизмов графов ранга $3$.
Ключевые слова: почти простая группа, $2$-замыкание группы подстановок, группа подстановок ранга $3$, граф ранга $3$, группа автоморфизмов графа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bannai E. Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 1971/72. Vol. 18. P. 475–486.
2. Brouwer A.E., Van Maldeghem H. Strongly regular graphs. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2022. 425 p. https://doi.org/10.1017/9781009057226
3. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumeier A. Distance-regular graphs. Berlin; Heidelberg; NY: Springer-Verlag, 1989. 495 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-74341-2
4. Bray J., Holt D., Roney-Dougal C. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2013. 438 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781139192576
5. Conway J.H., et al. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.
6. Craven D.A. The maximal subgroups of the exceptional groups $F_4(q)$, $E_6(q)$, and ${}^2E_6(q)$ and related almost simple groups // Invent. Math. 2023. Vol. 234. P. 637–719. https://doi.org/10.1007/s00222-023-01208-2
7. Dixon J.D., Mortimer B. Permutation groups. Ser. Graduate Texts in Mathematics, vol. 163. NY: Springer, 1996. 348 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0731-3
8. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups, Number 3. Part I, Ch. A: Almost simple $\mathcal{K}$-groups. Providence, RI: Ams. Math. Soc., 1998.
9. Гречкосеева М.А. О спектрах почти простых расширений ортогональных групп четной размерности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 4. C. 791–813. https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.405
10. Guo J., Vasil’ev A.V., Wang Z. The automorphism groups of small affine rank 3 graphs. 12 p. URL: https://arxiv.org/abs/2410.04341 . https://doi.org/10.48550/arXiv.2410.04341
11. Kantor W.M., Liebler R. A. The rank 3 permutation representations of the finite classical groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol 271. P. 1–71.
12. Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. https://doi.org/10.1017/CBO9780511629235
13. Liebeck M.W., Praeger C.E., Saxl J. On the 2-closures of finite permutation groups // J. London Math. Soc. (2). 1988. Vol. 37. no. 2. P. 241–252. https://doi.org/10.1112/JLMS/S2-37.2.241
14. Liebeck M.W., Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank three // Bull. London Math. Soc. 1986. Vol. 18. P. 165–172. https://doi.org/10.1112/blms/18.2.165
15. Praeger C.E., Saxl J. Closures of finite primitive permutation groups // Bull. London Math. Soc. 1992. Vol. 24. P. 251–258. https://doi.org/10.1112/BLMS/24.3.251
16. Quick M. Probabilistic generation of wreath products of non-abelian finite simple groups // Comm. Algebra. 2004. Vol 32. no. 12. P. 4753–4768. https://doi.org/10.1142/S0218196706003074
17. Skresanov S.V. On 2-closures of rank 3 groups // Ars Math. Contemp. 2021. Vol. 21, no. 1. Paper no. 1.08. https://doi.org/10.26493/1855-3974.2450.1dc
18. Steinberg R. Automorphisms of finite linear groups // Canadian J. Math. 1960. Vol. 12. P. 606–615. https://doi.org/10.4153/CJM-1960-054-6
Поступила 12.10.2024
После доработки 6.12.2024
Принята к публикации 9.12.2024
Опубликована онлайн 12.12.2024
Ван Чжиган (Wang Zhigang)
PhD, профессор
Школа математики и статистики, Хайнаньский университет;
г. Хайкоу, провинция Хайнань, КНР
e-mail: wzhigang@hainanu.edu.cn
Васильев Андрей Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск
e-mail: vasand@math.nsc.ru
Ревин Данила Олегович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
e-mail: revin@math.nsc.ru
Ссылка на статью: Ч. Ван, А.В. Васильев, Д.О. Ревин. О почти простых группах автоморфизмов графов ранга 3 // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 36-52
English
Z. Wang, A.V. Vasil’ev, D.O. Revin. On the almost simple automorphism groups of rank 3 graphs
A permutation group $G$ of a finite set $\Omega$ acts componentwisely on the Cartesian square $\Omega^2$. The largest subgroup of Sym$(\Omega)$ having the same orbits on $\Omega^2$ as $G$ is called the $2$-closure of $G$. The rank of $G$ is the number of its orbits on $\Omega^2$. If the rank of $G$ is $3$ and the order is even, then an undirected graph with vertex set $\Omega$ is defined up to taking complement, for which one of the two off-diagonal orbits of $G$ on $\Omega^2$ is taken as the edge set. Such a graph is called a graph of rank $3$. The full automorphism group of this graph coincides with the $2$-closure of $G$ and contains $G$ as a subgroup. At present, except for the case when $G$ is an almost simple group, there is an explicit description of the $2$-closures of groups $G$ of rank $3$. In this paper, we fill the existing gap, thereby completing the description of the complete automorphism groups of graphs of rank $3$.
Keywords: almost simple group, $2$-closure of permutation group, rank $3$ permutation group, rank $3$ graph, the automorphism group of a graph
Received October 12, 2024
Revised December 6, 2024
Accepted December 9, 2024
Published online December 12, 2024
Funding Agency: The research of A.V.Vasil’ev and D.O.Revin was carried out within the State Contract of the Sobolev Institute of Mathematics (FWNF-2022-0002).
Zhigang Wang, PhD, Prof., School of Mathematics and Statistics, Hainan Univ., Haikou, Hainan, 570225, P. R. China, e-mail: wzhigang@hainanu.edu.cn
Andrey Viktorovich Vasil’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberia Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: vasand@math.nsc.ru
Danila Olegovich Revin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberia Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: revin@math.nsc.ru
Cite this article as: Z. Wang, A.V. Vasil’ev, D.O. Revin. On the almost simple automorphism groups of rank 3 graphs. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 36–52.
