УДК 512.542, 519.6
MSC: 20D10, 20B40
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-19-35
В работе исследуются $D_\pi$-группы с единичным разрешимым радикалом, не имеющие неединичных нормальных $\pi$-подгрупп, в которых все простые неабелевы факторы их субнормального ряда являются простыми спорадическими группами. Доказано, что в таких группах для любой $\pi$-холловой подгруппы $H$ существует элемент $g$ такой, что $H\cap H^g=1$. Тем самым решен вопрос 20.123 (с) Коуровской тетради и при указанных условиях дан положительный ответ на вопрос 18.31.
Ключевые слова: холлова подгруппа, $D_\pi$-группа
Онлайн-версия статьи содержит дополнительные материалы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зенков В.И., Мазуров В.Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424–432.
2. Зенков В.И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных гурппах // Фундамент. и прикл. математика. 1996. Т. 2, № 1. C. 1–92.
3. Vdovin E.P. Regular orbits of solvable linear p′-groups // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2007. Vol. 4. P. 345–360.
4. Dolfi S. Large orbits in coprime actions of solvable groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360, no. 1. P. 135–152. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04155-4
5. Вдовин Е.П., Ревин Д.О. Теоремы силоского типа // Успехи мат. наук. 2011. Т. 66, № 5 (401). С. 3–46.
6. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro. 20th ed. [e-resource]. Linkoln; Novosibirsk: University of Lincoln, U.K.; Inst. Math. SO RAN Publ., 2024. 274 p. URL: https://kourovka-notebook.org/
7. Зенков В.И. О пересечениях $\pi$-холловых подгрупп в конечных $D_\pi$-группах // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 4. С. 866–869. https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.412
8. Ревин Д.О. Свойства $D_\pi$- в конечных простых группах // Алгебра и логика, 2008. Т. 47, № 3. С. 364–394.
9. Revin D.O., Vdovin E.P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups // J. Algebra, 2010. Vol. 324, no. 12. P. 3614–3652
10. Зенков В.И. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах со спорадическим цоколем // Алгебра и логика, 2020. Т. 59, № 4. С. 458–470. https://doi.org/10.33048/alglog.2020.59.403
11. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. О Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.
12. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. Москва: Мир, 1985. 352 c.
13. Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1983. (Ser. Mem. Am. Math. Soc., 42).
14. Кабанов В.В., Кондратьев А.С. Силовские 2-подгруппы конечных групп (обзор) / Институт математики и механики УНЦ Академии наук СССР. Свердловск, 1979. 144 с. (Full text)
15. Gluck D. Trivial set-stabilizers in finite permutation groups // Canad. J. Math. 1983. Vol. 35. P. 59–67. https://doi.org/10.4153/CJM-1983-005-2
16. Belousov I.N. I: Intersections $\pi$-Hall $D_\pi$-subgroups in finite simple sporadic groups; II: Finding a Lower Bound for Orbp(G) using the Sylow p-subgroup center centralizer. URL: https://github. com/BelousovIN/Intersection_Subgroup. In: The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.14.0; 2024. (https://www.gap-system.org).
17. Вдовин Е.П., Манзаева Н.Ч., Ревин Д.О. О наследуемости $\pi$-теоремы Силова подгруппами // Мат. сб. 2020. Т. 211, № 3. С. 3–31.
18. Halasi Z., Podoski K., Every coprime linear group admits a base of size two // Transactions of the american mathematical society. 2016. Vol. 368, no. 8. P. 5857–5887.
19. Feit W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order // Pacific J. Math., 1963. Vol. 13, no. 3. P. 775–787. https://doi.org/10.2140/pjm.1963.13.775
20. Glauberman G. Factorizations in local subgroups of finite groups. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc, 1977.
21. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977. 240 с.
22.Дополнительные материалы к статье: И. Н. Белоусов, В. И. Зенков. “О пересечениях $\pi$-холловых подгрупп некоторых конечных $D_\pi$-групп”. Онлайн-версия содержит дополнительные материалы, размещенные на http://journal.imm.uran.ru/Suppl_inf_2025-v.31-1 (Full text) .
Поступила 18.11.2024
После доработки 23.01.2025
Принята к публикации 27.01.2025
Белоусов Иван Николаевич, канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН; доцент Уральский федеральный университет г. Екатеринбург e-mail: i_belousov@mail.ru
Зенков Виктор Иванович д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН; профессор Уральский федеральный университет г. Екатеринбург e-mail: v1i9z52@mail.ru
Ссылка на статью: И.Н. Белоусов, В.И. Зенков. О пересечениях $\pi$-холловых подгрупп некоторых конечных $D_\pi$-групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 19-35
English
I.N. Belousov, V.I. Zenkov. On intersections of $\pi$-Hall subgroups of some $D_\pi$-groups
We study $D_\pi$-groups with a unit solvable radical that do not have nontrivial normal $\pi$-subgroups in which all simple nonabelian factors of their subnormal series are simple sporadic groups. It is proved that in such groups, for any $\pi$-Hall subgroup $H$, there exists an element $g$ such that $H\cap H^g=1$. Thus, Question 20.123 (c) of the Kourovka Notebook is solved and, under the above conditions, a positive answer is given to Question 18.31.
Keywords: Hall subgroup, $D_\pi$-group
Received November 18, 2024
Revised January 23, 2025
Accepted January 27, 2025
Ivan Nikolaevich Belousov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, 620000 Russia, e-mail: i_belousov@mail.ru
Victor Ivanovich Zenkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, 620000 Russia, e-mail: v1i9z52@mail.ru
Cite this article as: I.N. Belousov, V.I. Zenkov. On intersections of $\pi$-Hall subgroups of some $D_\pi$-groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 19–35.
