УДК 512.531.2
MSC: 20M10
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-251-264
Известно несколько эквивалентных определений класса полугрупп, которые мы называем прямоугольными полугруппами. Термин “прямоугольная полугруппа” будем использовать для обозначения прямых произведений сингулярных полугрупп. Полугруппу называют сингулярной, если она является полугруппой левых нулей или полугруппой правых нулей. Ранее было установлено характеристическое свойство допускающих планарные графы Кэли ординальных сумм прямоугольных полугрупп. В настоящей статье приводятся характеристические свойства допускающих внешнепланарные графы Кэли ординальных сумм прямоугольных полугрупп. Кроме того, проанализированы возможности их обобщения до обобщенных внешнепланарных графов Кэли полугрупп в том же классе. А именно, доказано необходимое и достаточное условие существования внешнеплоской или обобщенной внешнеплоской укладки графов Кэли ординальных сумм прямоугольных полугрупп. Подробно рассмотрен случай, когда графы Кэли таких полугрупп оказываются обобщенными внешнепланарными, но не внешнепланарными. В работе рассматриваются обобщенные внешнепланарные графы, охарактеризованные Иржи Седлачеком.
Ключевые слова: внешнепланарный граф, полугруппы с внешнепланарными графами Кэли, обобщенные внешнепланарные графы, графы Седлачека, полугруппы с планарными графами Кэли
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Klement E.P., Mesiar R., Pap E. Triangular norms as ordinal sums of semigroups in the sense of A. H. Clifford // Semigroup Forum. 2002. Vol. 65. P. 71–82. doi: 10.1007/s002330010127
2. Su Y., Zong W., Mesiarová-Zemánková A. Constructing uninorms via ordinal sums in the sense of A. H. Clifford // Semigroup Forum. 2022. Vol. 105. P. 328–344. doi: 10.1007/s00233-022-10287-1
3. Maschke H. The representation of finite groups, especially of the rotation groups of the regular bodies of three- and four-dimensional space, by Cayley’s color diagrams // Amer. J. Math. 1896. Vol. 18, no. 2. P. 156–194.
4. Knauer K., Knauer U. On planar right groups // Semigroup Forum. 2015. Vol. 92, no. 1. P. 142–157. doi: 10.1007/s00233-015-9688-2
5. Knauer K., Knauer U. Algebraic graph theory. Morphisms, monoids and matrices. 2nd edition. Berlin; Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2019. 349 p. (Ser. De Gruyter Studies in Mathematics; vol. 41). doi: 10.1515/9783110617368
6. Zhang X. Clifford semigroups with genus zero, semigroups, acts and categories with applications to graphs // Proc. Int. Conf. Semigroups, acts and categories with applications to graphs. Estonian Math. Soc. Tartu, 2008. Vol. 3. P. 151–160.
7. Zhu Y. Generalized Cayley graphs of semigroups I // Semigroup Forum. 2012. Vol. 84. P. 131–143. doi: 10.1007/s00233-011-9368-9
8. Соломатин Д.В. Исследования полугрупп с планарными графами Кэли: результаты и проблемы // Прикл. дискрет. математика. 2021. № 54. C. 5–57. doi: 10.17223/20710410/54/1
9. Соломатин Д.В. Прямые произведения циклических моноидов, допускающие внешнепланарные графы Кэли и их обобщения // Вестн. ТвГУ. Сер.: Прикладная математика. 2023. № 4. С. 43–56. doi: 10.26456/vtpmk697
10. Адян С.И. Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых свойств групп // Докл. АН СССР. 1955. Вып. 103:4. C. 533–535.
11. Шеврин Л.Н. Полугруппы // Общая алгебра / под ред. Л.А. Скорнякова. M.: Наука, 1991. Т. 2, гл. IV. С. 11–191.
12. Harary F. Graph theory. advanced book program series. Boulder: Westview Press, 1994. 288 p.
13. Sedláček J. On a generalization of outerplanar graphs // Časopis Pěst. Mat. 1988. Vol. 2 (113). P. 213–218.
14. Ding G., Dziobiak S. Excluded-minor characterization of apex-outerplanar graphs // Graphs and Combinatorics. 2016. Vol. 32 (2). P. 583–627. doi: 10.1007/s00373-015-1611-9
Поступила 25.03.2024
После доработки 4.05.2024
Принята к публикации 13.05.2024
Соломатин Денис Владимирович
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры математики и методики обучения математике
Омский государственный педагогический университет
г. Омск
e-mail: solomatin_dv@omgpu.ru
Ссылка на статью: Д.В. Соломатин. Ординальные суммы прямоугольных полугрупп, допускающие внешнепланарные графы Кэли и их обобщения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 251-264
English
D.V. Solomatin. Ordinal sums of rectangular semigroups with outerplanar Cayley graphs and their generalizations
There are several equivalent definitions of the class of semigroups which we call rectangular semigroups. We will use the term rectangular semigroup to denote direct products of singular semigroups. A semigroup is called singular if it is a left zero semigroup or a right zero semigroup. A characteristic property of ordinal sums of rectangular semigroups with planar Cayley graphs is known. This article presents the characteristic properties of ordinal sums of rectangular semigroups with outerplanar Cayley graphs. In addition, the possibilities of their generalization to generalized outerplanar Cayley graphs of semigroups in the same class are analyzed. Namely, a necessary and sufficient condition for the existence of an outerplane embedding in the plane or generalized outerplane embedding in the plane of the Cayley graphs of the ordinal sums of rectangular semigroups is proved. The case when the Cayley graphs of such semigroups turn out to be generalized outerplanar, but not outerplanar, is considered in detail. The paper considers generalized outerplanar graphs characterized by Jiří Sedláček.
Keywords: outerplanar graph, semigroups with outerplanar Cayley graphs, generalized outerplanar graphs, Sedláček graphs, semigroups with planar Cayley graphs
Received March 25, 2024
Revised May 4, 2024
Accepted May 13, 2024
Denis Vladimirovich Solomatin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Omsk State Pedagogical University, Omsk, 644099 Russia, e-mail: solomatin_dv@omgpu.ru
Cite this article as: D.V. Solomatin. Ordinal sums of rectangular semigroups with outerplanar Cayley graphs and their generalizations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 251–264.
[References -> on the "English" button bottom right]
