УДК 517.977
MSC: 49K15, 93C15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-274-292
Рассматривается задача управления на бесконечном промежутке со слабо обгоняющим критерием оптимальности. В таких задачах необходимое для такого критерия условие (Д. В. Хлопин, 2023) на бесконечности, совместимое при этом с принципом максимума, может выделить континуум решений сопряженной системы. С другой стороны, предложенное А. В. Кряжимским и С. М. Асеевым (2004) условие в виде формулы типа Коши всегда выделяет ровно одну сопряженную траекторию, которая зачастую удовлетворяет соотношениям принципа максимума в рамках задачи со свободным правым концом. Поэтому в данной работе найдены асимптотические предположения на систему, при которых именно это решение (или модификации на его основе для задач с асимптотическими терминальными ограничениями) решает принцип максимума Понтрягина. Полученные в работе асимптотические предположения развивают недавние результаты Д. В. Хлопина (2018, 2023), С. М. Асеева, В. М. Вельова (2019) и С. М. Асеева (2023).
Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, асимптотическое краевое условие, бесконечный горизонт, единственность сопряженной траектории, условие трансверсальности на бесконечности, слабо обгоняющая оптимальность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons. Econometrica. 1974. Vol. 42. P. 267–272. doi: 10.2307/1911976
2. Khlopin D. Necessary conditions in infinite-horizon control problems that need no asymptotic assumptions // Set-Valued and Variational Analysis. 2023. Vol. 31, no. 1. Art. no. 8. doi: 10.1007/s11228-023-00672-5
3. Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН. 2007. T. 257. C. 3–271.
4. Асеев С.М., Вельов В.М. Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // Успехи мат. наук. 2019. Vol. 74, № 6(450). C. 3–54. doi: 10.1070/rm9915
5. Khlopin, D. A maximum principle for one infinite horizon impulsive control problem // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51. P. 213–218. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.383
6. Aseev S.M. The Pontryagin maximum principle for optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint under weak regularity assumptions // J. Math. Sci. (N.Y.). 2023. Vol. 270, no. 4. P. 531–546. doi: 10.1007/s10958-023-06364-7
7. Mordukhovich B.S. Variational analysis and applications. Cham: Springer, 2018. 622 p.
8. Rockafellar R.T., Wets R.J.B. Variational analysis. Berlin: Springer-Verlag, 2009. 736 p.
9. Carlson D.A. Uniformly overtaking and weakly overtaking optimal solutions in infinite-horizon optimal control: when optimal solutions are agreeable // J. Optim. Theory Appl. 1990. Vol. 64. P. 55–69. doi: 10.1007/BF00940022
10. Bogusz D. On the existence of a classical optimal solution and of an almost strongly optimal solution for an infinite-horizon control problem // J. Optim. Theory Appl. 2013 Vol. 156, P. 650–682. doi: 10.1007/s10957-012-0126-2
11. Clarke F. Functional analysis, calculus of variations and optimal control. London: Springer, 2013. 591 p. doi: 10.1007/978-1-4471-4820-3
12. Khlopin D. Necessity of vanishing shadow price in infinite horizon control problems // J. Dyn. Con. Sys. 2013. Vol. 19. P. 519–552. doi: 10.1007/s10883-013-9192-5
13. Khlopin D. Necessity of limiting co-state arc in Bolza-type infinite horizon problem // Optimization. 2015. Vol. 64. P. 2417–2440. doi: 10.1080/02331934.2014.971413
14. Ледяев Ю.С., Триман Д.С. Суб- и суперградиенты огибающих, полунепрерывных замыканий и пределов последовательностей функций // Успехи мат. наук. 2012. Vol. 67. № 2(404). C. 157–186. doi: 10.4213/rm9466
15. Pе́rez-Aros P. Subdifferential formulae for the supremum of an arbitrary family of functions // SIAM J. Control Optim. 2019. Vol. 29. P. 1714–1743. doi: 10.1137/17M1163141
16. Khlopin D.V. On two-sided unidirectional mean value inequality in a Frе́chet smooth space // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 132–140. doi: 10.15826/umj.2023.2.011
17. Aseev S.M., Kryazhimskii A.V. The Pontryagin Maximum Principle and transversality conditions for a class of optimal control problems with infinite time horizons // SIAM J. Control Optim. 2004. Vol. 43. P. 1094–1119. doi: 10.1137/S0363012903427518
18. Seierstad A. Necessary conditions for nonsmooth, infinite-horizon optimal control problems // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 103. P. 201–230. doi: 10.1023/A:1021733719020
19. Shell K. Applications of Pontryagin’s maximum principle to economics // Mathematical Systems Theory and Economics I/II. Berlin; Heidelberg: Springer, 1969. doi: 10.1007/978-3-642-46196-5_12
20. Belyakov A.O. Necessary conditions for infinite horizon optimal control problems revisited. 2017. 19 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1512.01206 . doi: 10.48550/arXiv.1512.01206
21. Беляков A.O. О достаточных условиях оптимальности для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом времени // Тр. МИАН. 2020. Vol. 308. C. 65–75. doi: 10.4213/tm4092
22. Mordukhovich B.S., Nghia T. Subdifferentials of nonconvex supremum functions and their applications to semi-infinite and infinite programs with lipschitzian data // SIAM J. Control Optim. 2013. Vol. 23. P. 406–431. doi: 10.1137/110857738
23. Kamihigashi T. Necessity of transversality conditions for infinite horizon problems // Econometrica. 2001. Vol. 69. P. 995–1012. doi: 10.1111/1468-0262.00227
24. Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // Успехи мат. наук. 2012. Vol. 67. № 2(404). C. 3–64. doi: 10.4213/rm9467
25. Aseev S.M. Necessary conditions for the optimality and sustainability of solutions in infinite-horizon optimal control problems // Mathematics. 2023. Vol. 11. P. 38–51. doi: 10.3390/math11183851
Поступила 29.06.2024
После доработки 31.07.2024
Принята к публикации 5.08.2024
Хлопин Дмитрий Валерьевич
канд. физ.-мат. наук, зав. отделом,
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург, e-mail: khlopin@imm.uran.ru
Ссылка на статью: Д.В. Хлопин. Об одной сопряженной траектории в задачах управления на бесконечном промежутке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 274-292
English
D.V. Khlopin. On an adjoint trajectory in infinite-horizon control problems
An optimal control problem is considered on an infinite interval with a weakly overtaking optimality criterion. In such problems, the necessary (D.V. Khlopin, 2023) condition at infinity for such a criterion, compatible with the maximum principle, can give a continuum of solutions of the adjoint system. On the other hand, the Cauchy type formula proposed by A.V. Kryazhimsky and S.M. Aseev (2004) always identifies exactly one adjoint trajectory, which often satisfies the maximum principle within the framework of the problem with a free right end. That is why we find asymptotic assumptions on the system that guarantee the compatibility of the Pontryagin maximum principle and this adjoint trajectory (or its modifications for problems with asymptotic terminal constraints). The asymptotic assumptions obtained in this work develop the recent results by D. V. Khlopin (2018, 2023), S.M. Aseev and V.M. Veliov (2019), and S.M. Aseev (2023).
Keywords: optimal control, Pontryagin’s maximum principle, asymptotic endpoint constraint, infinite horizon, uniqueness of the adjoint trajectory, transversality condition at infinity, weakly overtaking optimality
Received June 29, 2024
Revised July 31, 2024
Accepted August 5, 2024
Dmitry Valer’evich Khlopin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: khlopin@imm.uran.ru
Cite this article as: D.V. Khlopin. On an adjoint trajectory in infinite-horizon control problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 274–292.
[References -> on the "English" button bottom right]
