А.В. Иванов. О промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер ... С. 139-148

УДК 515.12

MSC: 54B30, 28A33

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-139-148

Финансовое обеспечение исследования осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН).

Размерность квантования $\dim_{\cal F}(\xi)$ определена для любой точки $\xi$ пространств вида ${\cal F}(X)$, где ${\cal F}$ — полунормальный метризуемый функтор, а $X$ — метрический компакт.  Примером размерности квантования является классическая емкостная размерность $\dim_B$ замкнутых подмножеств компакта $X$. В работе в качестве ${\cal F}$ рассматривается  функтор $I$ идемпотентных мер, или мер Маслова. Известно, что для любой идемпотентной меры $\mu\in I(X)$ ее размерности квантования (верхняя и нижняя) не превосходят соответственно верхней и нижней емкостных размерностей компакта $X$. Эти неравенства мотивируют вопрос о промежуточных значениях  размерностей квантования идемпотентных мер. Доказана следующая теорема: на любом метрическом компакте $X$ размерности $\dim_BX=a<\infty$ для любых  чисел $c\in[0,a]$ и  $b\in[0,a/2)\cap[0,c]$ существует идемпотентная мера, нижняя размерность квантования которой равна  $b$, а верхняя — $c$. Из этой теоремы следует, что если метрический компакт $X$ имеет положительную емкостную размерности, то  на $X$ всегда существует идемпотентная мера с положительной нижней размерностью квантования. При этом известно, что для емкостной размерности аналогичное утверждение  в общем случае неверно, поскольку существует метрический компакт, емкостная размерность которого равна 1, а все его собственные замкнутые подмножества нульмерны в смысле нижней емкостной размерности.

Ключевые слова: идемпотентная  мера, емкостная размерность, размерность квантования, метризуемый функтор

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ivanov A. V. On quantization dimensions of idempotent probability measures // Topology and its Appl.2022. Vol. 306. Art. no. 107931. doi: 10.1016/j.topol.2021.107931

2.   Pontryagin  L., Shnirelman L. On one metric property of dimension // Ann. Math. 1932. Vol. 33. P. 156–162.

3.   Песин Я.Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 404 с.

4.   Graf S., Luschgy H. Foundations of quantization for probability distributions. Berlin: Springer-Verlag, 2000. 231 p. doi: 10.1007/BFb0103945

5.   Литвинов Г.Л., Маслов В.П., Шпиз Г.Б. Идемпотентный функциональный анализ. Алгебраический подход // Мат. заметки. 2001. Т. 69, №5. С. 758–797. doi: 10.4213/mzm539

6.   Заричный М.М. Пространства и отображения идемпотентных мер // Изв. РАН. Сер. математическая. 2010. Т. 74, №3. С. 45–64. doi: 10.4213/im2785

7.   Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов// Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, №3. С. 3–62.

8.   Bazylevych L., Repovs D., Zarichnyi M. Spaces of idempotent measures of compact metric spaces // Topology and its Appl. 2010. Vol. 157, no.1. P. 136–144. doi: 10.1016/j.topol.2009.04.040

9.   Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов// Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1990. Т. 54, №2. С. 396–417.

10.   Федорчук В.В. Бикомпакты без промежуточных размерностей // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, №4. С. 795–797.

11.   Иванов А.В. О промежуточных значениях емкостных размерностей // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, №3. С. 540 – 545. doi: 10.33048/smzh.2023.64.307

12.   Fedorchuk V., Todorčević S. Cellularity of covariant functors // Topology and its Appl. 1997. Vol. 76. P. 125–150.

13.   Akian M. Densities of idempotent measures and large deviations // Trans. of Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 351, № 11. P. 4515–4543. doi: 10.1090/S0002-9947-99-02153-4

Поступила 21.02.2024

После доработки 4.05.2024

Принята к публикации 13.05.2024

Иванов Александр Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий научн. сотрудник
Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН
г. Петрозаводск
e-mail: alvlivanov@krc.karelia.ru

Ссылка на статью: А.В. Иванов.  О промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 139-148

English

A.V. Ivanov. On intermediate values of quantization dimensions of idempotent measures

The quantization dimension $\dim_{\cal F}(\xi)$ is defined for any point $\xi$ of spaces of the form ${\cal F}(X)$, where ${\cal F}$ is a half-normal metrizable functor and $X$ is a metric compact space. An example of a quantization dimension is the classical box dimension $\dim_B$ of closed subsets of a compact space $X$. In this work, the functor $I$ of idempotent measures or Maslov measures is considered as ${\cal F}$. It is known that, for any idempotent measure $\mu\in I(X)$, its (upper and lower) quantization dimensions do not exceed the upper and lower box dimensions, respectively, of the space $X$. These inequalities motivate the question about intermediate values of the quantization dimensions of idempotent measures. The following theorem is proved: on any metric compact space $X$ of dimension $\dim_BX=a<\infty$, for any numbers $c\in[0,a]$ and $b\in[0,a/2)\cap[0 ,c]$, there is an idempotent measure whose lower quantization dimension is $b$ and whose upper quantization dimension is $c$. As follows from this theorem, if a metric compact space $X$ has positive box dimension, then $X$ always has an idempotent measure with a positive lower quantization dimension. Moreover, it is known that a similar statement for the box dimension is not true in the general case, since there exists a metric compact space whose box dimension is $1$ such that all of its proper closed subsets are zero-dimensional in the sense of the lower box dimension.

Keywords: idempotent measure, box dimension, quantization dimension, metrizable functor

Received February 21, 2024

Revised May 4, 2024

Accepted May 13, 2024

Funding Agency: This work was supported by the federal budget as part of a state task to the Karelian Research Center of the Russian Academy of Sciences (the Institute of Applied Mathematical Research).

Aleksandr Vladimirovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Applied Mathematical Research of Karelian Research of the Centre Russian Academy of Sciences, Petrozavodsk, 185910, Russia, e-mail: alvlivanov@krc.karelia.ru

Cite this article as: A.V. Ivanov. On intermediate values of quantization dimensions of idempotent measures. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 139–148.

[References -> on the "English" button bottom right]