УДК 512.542
MSC: 20D05 20D06 20D60
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-70-79
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект 19-71-10067 (теорема 1) и Национального фонда естественных наук Китая, проекты 12171126 и 12371021; часть исследований выполнена в рамках государственного задания Института математики СО РАН, тема FWNF-2022-0002.
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S114–S122. (Abstract)
Подгруппа $H$ группы $G$ называется пронормальной, если для любого элемента $g\in G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в подгруппе $\langle H, H^g\rangle$. Известно, что значительная часть конечных простых групп обладает свойством $(*)$: любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в группе. Гипотеза о том, что свойством $(*)$ обладает любая конечная простая группа, была выдвинута в 2012 г. в работе Е.П. Вдовина и третьего автора на основании анализа доказательства пронормальности всех холловых подгрупп в конечных простых группах. Однако эта гипотеза была опровергнута в 2016 г. в работе А.С. Кондратьева, второго и третьего авторов. В серии работ А.С. Кондратьева и авторов 2015-2020 гг. конечные простые группы со свойством $(*)$, за исключением простых линейных и унитарных групп с некоторыми ограничениями на естественные арифметические параметры, классифицированы. В настоящей работе строятся серии примеров непронормальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых линейных и унитарных группах над полем нечетной характеристики и тем самым делается шаг на пути завершения классификации конечных простых групп со свойством $(*)$.
Ключевые слова: конечная группа, простая группа, линейная простая группа, унитарная простая группа, пронормальная подгруппа, нечетный индекс
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hall P. Phillip Hall’s lecture notes on group theory — Part 6 / Cambridge: University of Cambridge, 1951–1967. URL: http://omeka.wustl.edu/omeka/items/show/10788
2. Babai L. Isomorphism Problem for a Class of Point-Symmetric Structures // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1977. Vol. 29. P. 329–336. doi: 10.1007/BF01895854
3. Palfy P.P. Isomorphism Problem for Relational Structures with a Cyclic Automorphism // Europ. J. Combinatorics. 1987. Vol. 8, no. 1. P. 35–43. doi: 10.1016/S0195-6698(87)80018-5
4. Praeger Ch.E. On transitive permutation groups with a subgroup satisfying a certain conjugacy condition // J. Austral. Math. Soc. 1984. Vol. 36, № 1. P. 69–86. doi: 10.1017/S1446788700027348
5. Го В., Маслова Н.В., Ревин Д.О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в некоторых расширениях конечных групп // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 59, № 4. С. 773–790. doi: 10.17377/smzh.2018.59.404
6. de Giovanni F., Trombetti M. Pronormality in group theory // Adv. Group Theory Appl. 2020. Vol. 9. P. 123–149. doi: 10.32037/agta-2020-005
7. Brescia M., Ferrara M., Trombetti M. Groups whose subgroups are either abelian or pronormal // Kyoto J. Math. 2023. Vol. 63, no. 3. P. 471–500. doi: 10.1215/21562261-10607307
8. Brescia M., Trombetti M. Locally finite simple groups whose non-Abelian subgroups are pronormal // Comm. Algebra. 2023. Vol. 51, no. 8. P. 3346–3353. doi: 10.1080/00927872.2023.2182604
9. Ferrara M., Trombetti M. Groups with many pronormal subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. 2022. Vol. 105, no. 1. P. 75–86. doi: 10.1017/S0004972721000277
10. Ferrara M., Trombetti M. Locally finite simple groups whose nonnonilpotent subgroups are pronormal // Bull. Austral. Math. Soc.: publ. online. 2023. P. 1–10. doi: 10.1017/S0004972723000576
11. Ferrara M., Trombetti M. Periodic linear groups in which permutability is a transitive relation // Ann. Mat. Pura Appl. (4). 2024. Vol. 203, no. 1. P. 361–383. doi: 10.1007/s10231-023-01367-2
12. Вдовин Е. П., Ревин Д.О. Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 3. C. 527–542.
13. Кондратьев А.С., Маслова Н.В., Ревин Д.О. О пронормальности подгрупп нечетного индекса в конечных простых группах // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 6. С. 1375–1383. doi: 10.17377/smzh.2015.56.614
14. Кондратьев А.С., Маслова Н.В., Ревин Д.О. Критерий пронормальности добавлений к абелевым нормальным подгруппам // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 153–158.
15. Кондратьев А.С., Маслова Н.В., Ревин Д.О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в конечных простых симплектических группах // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 599–610. doi: 10.17377/smzh.2017.58.310
16. Кондратьев А.С., Маслова Н.В., Ревин Д.О. О пронормальных подгруппах в конечных простых группах // Докл. РАН. 2018. Т. 482, № 1. С. 7–11. doi: 10.31857/S086956520003121-6
17. Kondrat’ev A.S., Maslova N.V., Revin D.O. Finite simple exceptional groups of Lie type in which all the subgroups of odd index are pronormal // J. Group Theory. 2020. Vol. 23. P. 999–1016. doi: 10.1515/jgth-2020-0072
18. Kondrat’ev A.S., Maslova N.V., Revin D.O. On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple groups // Groups St Andrews 2017 in Birmingham / eds. C.M. Campbell, M.R. Quick, C.W. Parker, E.F. Robertson, C.M. Roney-Dougal. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 2019. P. 406–418 (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 455). doi: 10.1017/9781108692397.016
19. Maslova N.V., Revin D.O. On the pronormality of subgroups of odd index in some direct products of finite groups // J. Algebra Appl. 2023. Vol. 22, no. 04. Art. number 2350083. doi: 10.1142/S0219498823500834
20. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. Math. Surv. Monogr. 1994. Vol. 40, no. 3. 419 p. ISBN: 978-0-8218-0391-2 .
21. Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 303 p. doi: 10.1017/CBO9780511629235
22. Маслова Н.В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. C. 100–118.
23. Maslova N.V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite simple classical groups: Addendum // Sib. Electron. Math. Reports. 2018. Vol. 15. P. 707–718. doi: 10.17377/semi.2018.15.056
24. Маслова Н.В. Максимальные подгруппы нечётного индекса в конечных группах с простым линейным, унитарным или симплектическим цоколем // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 2. C. 189–208.
25. Кондратьев А.С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 3. C. 368–376. doi: 10.4213/mzm2593
Поступила 05.12.2023
После доработки 08.01.2024
Принята к публикации 15.01.2024
Го Вэньбинь
д-р физ.-мат. наук
профессор
Школа математики и статистики, Хайнаньский университет;
профессор
Университет науки и технологии Китая
e-mail: wbguo@ustc.edu.cn
Маслова Наталья Владимировна
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
e-mail: butterson@mail.ru
Ревин Данила Олегович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН;
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: revin@math.nsc.ru
Ссылка на статью: В. Го, Н.В. Маслова, Д.О. Ревин. Непронормальные подгруппы нечетных индексов в конечных простых линейных и унитарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 70-79
English
W. Guo, N.V. Maslova, D.O. Revin. Nonpronormal subgroups of odd index in finite simple linear and unitary groups
A subgroup $H$ of a group $G$ is pronormal if, for each $g \in G$, the subgroups $H$ and $H^g$ are conjugate in $\langle H, H^g \rangle$. Most of finite simple groups possess the following property $(*)$: each subgroup of odd index is pronormal in the group. The conjecture that all finite simple groups possess the property $(*)$ was established in 2012 in a paper by E.P. Vdovin and the third author based on the analysis of the proof that Hall subgroups are pronormal in finite simple groups. However, the conjecture was disproved in 2016 by A.S. Kondrat'ev together with the second and third authors. In a series of papers by Kondrat'ev and the authors published from 2015 to 2020, the finite simple groups with the property $(*)$ except finite simple linear and unitary groups with some constraints on natural arithmetic parameters were classified. In this paper we construct series of examples of nonpronormal subgroups of odd indices in finite simple linear and unitary groups over a field of odd characteristic, thereby making a step towards completing the classification of finite simple groups with the property $(*)$.
Keywords: finite group, simple group, linear simple group, unitary simple group, pronormal subgroup, odd index
Received December 5, 2023
Revised January 8, 2024
Accepted January 15, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10067, Theorem 1), the National Natural Science Foundation of China (project nos. 12171126 and 12371021), and within a state contract of the Sobolev Institute of Mathematics (FWNF-2022-0002).
Wenbin Guo, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., School of Mathematics and Statistics, Hainan University, Haikou, Hainan 570225, P. R. China, Department of Mathematics, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, P. R. China, e-mail: wbguo@ustc.edu.cn
Natalia Vladimirovna Maslova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002, Russia e-mail: butterson@mail.ru
Danila Olegovich Revin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberia Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: revin@math.nsc.ru
Cite this article as: W. Guo, N.V. Maslova, D.O. Revin. Nonpronormal subgroups of odd index in finite simple linear and unitary groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 70–79. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S114–S122.
[References -> on the "English" button bottom right]