УДК 517.968.4
MSC: 45G05
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-249-269
Исследование первого и третьего авторов выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 21T-1A047. Исследование второго автора выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 23RL-1A027.
Работа посвящена изучению вопросов существования, несуществования и единственности решения одного класса интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Стилтьеса на всей числовой прямой с вогнутой и монотонной нелинейностью. Указанный класс уравнений имеет непосредственное применение в различных отраслях современного естествознания. В частности, в зависимости от представления соответствующего ядра (предъядра) и нелинейности, уравнения такого рода встречаются в теории вероятностей (в марковских процессах), в теории p-адической струны, в теории переноса излучения в спектральных линиях, в эпидемиологии, в кинетической теории газов и плазмы. При определенных ограничениях на ядро и на нелинейность уравнения доказывается конструктивная теорема существования непрерывного положительного и ограниченного решения. Излагается также метод построения приближенного решения, суть которого заключается в получении равномерной оценки для разности построенного решения и соответствующих последовательных приближений, при этом правая часть данной оценки стремится к нулю со скоростью некоторой геометрической прогрессии. В случае, когда ядро уравнения удовлетворяет условию стохастичности, доказывается отсутствие нетривиального непрерывного и ограниченного решения. В классе неотрицательных нетривиальных непрерывных и ограниченных функций устанавливается также теорема единственности. На основе некоторых геометрических оценок для вогнутых функций исследуется асимптотическое поведение построенного решения на бесконечности. В конце статьи приводятся прикладные примеры ядра (предъядра) и нелинейности изучаемого уравнения для наглядности полученных результатов.
Ключевые слова и фразы: ограниченное решение, монотонность, предъядро, вогнутость, последовательные приближения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Енгибарян Н.Б. Уравнения в свертках, содержащие вероятностные распределения // Изв. РАН. Сер. математическая. 1996. Т. 60, № 2. P. 21–48. doi: 10.4213/im70
2. Spitzer F. The Wiener-Hopf equation, whose kernel is a probability density // Duke Math. J. 1957. Vol. 24, no. 3. P. 323–343. doi: 10.1215/S0012-7094-57-02439-0
3. Феллер В. Введение в теории вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967.
4. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теорет. и мат. физика. 2004. Т. 138, № 3. P. 355–368. doi: 10.4213/tmf36
5. Владимиров В.С. Об уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля тахионов // Изв. РАН. Сер. математическая. 2005. Т. 69, № 3. P. 55–80. doi: 10.4213/im640
6. Владимиров В.С. О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открыто-замкнутых струн // Теорет. и мат. физика. 2006. Т. 149, № 3. P. 354–367. doi: 10.4213/tmf5522
7. Владимиров В.С. К вопросу несуществования решений уравнений p-адических струн // Теорет. и мат. физика. 2013. Т. 174, № 2. P. 208–215. doi: 10.4213/tmf8390
8. Жуковская Л.В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн // Теорет. и мат. физика. 2006. Т. 146, № 3. P. 402–409. doi: 10.4213/tmf2043
9. Aref’eva I.Ya., Volovich I.V. Cosmological daemon // J. High Energy Physics. 2011. Vol. 2011, no. 8. Art. no. 102. doi: 10.1007/JHEP08(2011)102
10. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. О разрешимости нелинейного модельного уравнения Больцмана в задаче плоской ударной волны // Теорет. и мат. физика. 2016. Т. 189, № 2. C. 239–255. doi:10.4213/tmf9108
11. Cercignani C. The Boltzmann equation and its applications. NY: Springer-Verlag, 1988. 455 p. doi: 10.1007/978-1-4612-1039-9
12. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 p.
13. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2, № 1. P. 31–36.
14. Atkinson C., Reuter G.E.H. Deterministic epidemic waves // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1976. Vol. 80, no. 2. P. 315–330. doi: 10.1017/S0305004100052944
15. Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation // Nonlinear Anal.: Theory, Method and Appl. 1978. Vol. 2, no. 6. P. 721–737. doi: 10.1016/0362-546X(78)90015-9
16. Diekmann O. Threshold and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biology. 1978. Vol. 6, no. 2. P. 109–130. doi:10.1007/BF02450783
17. Law R., Dieckmann U. Moment approximations of individual-based models // The geometry of ecological interactions: Simplifying spatial complexity / eds. U. Dieckmann, R. Law, J.A.J. Metz. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. P. 252–270. doi: 10.1017/CBO9780511525537.017
18. Dieckmann U., Law R. Relaxation projections and the method of moments // The geometry of ecological interactions: Simplifying spatial complexity / eds. U. Dieckmann, R. Law, J.A.J. Metz, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. P. 412–455. doi: 10.1017/CBO9780511525537.025
19. Давыдов А.А., Данченко В.И., Звягин М.Ю. Существование и единственность стационарного распределения биологического сообщества // Тр. МИАН. Особенности и приложения: cб. ст. 2009. Т. 267. С. 46–55.
20. Sargan J.D. The distribution of wealth // Econometrica. 1957. Vol. 25, no. 4. P. 568–590. doi: 10.2307/1905384
21. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны // Изв. РАН. Сер. математическая. 2018. Т. 82, № 2. C. 172–193. doi: 10.4213/im8580
22. Андриян С.М., Кроян А.К., Хачатрян Х.А. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений в p-адической теории струн // Уфим. мат. журн. 2018. Т. 10, № 4. P. 12–23.
23. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн // Тр. Моск. мат. общества. 2018. Т. 79, № 1. P. 117–132.
24. Хачатрян Х.А. Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью // Изв. РАН. Сер. математическая. 2020. Т. 84, № 4. P. 198–207. doi: 10.4213/im8898
25. Петросян А.С., Хачатрян Х.А. О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой // Мат. заметки. 2023. Т. 113, № 4. P. 529–543. doi: 10.4213/mzm13627
26. Khachatryan Kh.A., Petrosyan H.S. On a class of integral equations with convex nonlinearity on semiaxis // J. Contemp. Math. Anal. 2020. Vol. 55. P. 42–53. doi: 10.3103/S1068362320010057
27. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна — Стилтьеса на всей прямой // Труды МИАН. 2020. Vol. 308. P. 253–264. doi: 10.4213/tm4051
28. Зорич В.А. Математический анализ, М.: Наука, 1984. 640 p.
29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 p.
30. Rudin W. Real and complex analysis. NY; London; Hamburg: McGraw-Hill Book Company, 1987. 483 p.
31. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 450 p.
Поступила 10.01.2024
После доработки 29.01.2024
Принята к публикации 5.02.2024
Хачатрян Агавард Хачатурович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой высшей математики, физики и прикладной механики
Национальный аграрный университет Армении;
Институт математики НАН Армении
г. Ереван
e-mail: Aghavard59@mail.ru
Хачатрян Хачатур Агавардович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой теории функций и дифференциальных уравнений
Ереванский государственный университет;
Институт математики НАН Армении
г. Ереван
e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Петросян Айкануш Самвеловна
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры высшей математики, физики и прикладной механики
Национальный аграрный университет Армении
г. Ереван
e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Ссылка на статью: А.Х. Хачатрян, Х.А. Хачатрян, А.С. Петросян. Вопросы существования отсутствия и единственности решения одного класса нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с оператором типа Гаммерштейна — Стилтьеса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 249-269
English
A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan, H.S. Petrosyan. Questions of existence, absence, and uniqueness of a solution to one class of nonlinear integral equations on the whole line with an operator of Hammerstein–Stieltjes type
The work is devoted to the study of questions of the existence, nonexistence, and uniqueness of a solution to one class of integral equations of the Hammerstein–Stieltjes type on the whole line with a concave and monotone nonlinearity. This class of equations has direct applications in various areas of modern natural science. In particular, depending on the representation of the corresponding kernel (or subkernel) and nonlinearity, equations of this kind are found in probability theory (Markov processes), p-adic string theory, the theory of radiative transfer in spectral lines, epidemiology, and the kinetic theory of gases and plasma. Under certain constraints on the kernel and on the nonlinearity of the equation, a constructive theorem for the existence of a continuous positive bounded solution is proved. A method for constructing an approximate solution is also outlined, the essence of which is to obtain a uniform estimate of the difference between the constructed solution and the corresponding successive approximations; the right-hand side of this estimate tends to zero at a rate of some geometric progression. In the case where the kernel of the equation satisfies the stochasticity condition, the absence of a nontrivial continuous bounded solution is proved. In the class of nonnegative nontrivial continuous bounded functions, a uniqueness theorem is also established. Using some geometric estimates for concave functions, the asymptotic behavior of the constructed solution at infinity is studied. At the end of the article, to illustrate the results obtained, practical examples of the kernel (subkernel) and nonlinearity of the equation under study are given.
Keywords: bounded solution, monotonicity, subkernel, concavity, successive approximations
Received January 10, 2024
Revised January 29, 2024
Accepted February 5, 2024
Funding Agency: The research of the first and third authors was supported by the Science Committee of the Ministry of Education, Science, Culture, and Sport of the Republic of Armenia (project no. 21T-1A047). The research of second author was supported by the Science Committee of the Ministry of Education, Science, Culture, and Sport of the Republic of Armenia (project no. 23RL-1A027).
Aghavard Khachaturovich Khachatryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Armenian National Agrarian University, 0009, Yerevan; Institute of Mathematics NAS, 0019, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: aghavard59@mail.ru
Khachatur Aghavardovich Khachatryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Yerevan State University, 0025, Yerevan; Institute of Mathematics NAS, 0019, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Haykanush Samvelovna Petrosyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Armenian National Agrarian University, 0009, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Cite this article as: A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan, H.S. Petrosyan. Questions of existence, absence, and uniqueness of a solution to one class of nonlinear integral equations on the whole line with an operator of Hammerstein–Stieltjes type. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 249–269.
[References -> on the "English" button bottom right]
