УДК 517.977.1
MSC: 34H05, 49K15, 92C50, 92D30, 93C10
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-237-248
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S123–S133. (Abstract)
В работе рассматриваются задачи минимизации со свободным правым концом на заданном отрезке времени для управляемых аффинных систем дифференциальных уравнений. Для такого класса задач исследуется оценка числа различных нулей функций переключений, определяющих вид соответствующих оптимальных управлений. В основе такого исследования лежит анализ неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений для функций переключений и отвечающих им вспомогательных функций. Подробно рассматриваются неавтономные линейные системы третьего порядка. В них выполняется замена переменных, которая преобразует матрицу такой системы к специальному верхне-треугольному виду, что позволяет, привлекая обобщенную теорему Ролля, оценить число нулей соответствующих функций переключений. В случае линейной системы третьего порядка это преобразование осуществляется с помощью функций, удовлетворяющих неавтономной системе квадратичных дифференциальных уравнений того же порядка. В работе представлены два подхода, обеспечивающие продолжимость решений неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на заданный отрезок времени. Первый подход использует дифференциальные неравенства и теорему сравнения Чаплыгина. Второй подход сочетает расщепление неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка с применением условия квазиположительности к этим подсистемам.
Ключевые слова: функция переключений, обобщенная теорема Ролля, неавтономная система квадратичных дифференциальных уравнений, продолжимость решений, условие квазиположительности решений
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 c.
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 c.
3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
4. Дмитрук А.В. Об одном обобщении оценки числа нулей решений линейного дифференциального уравнения // Тр. ВНИИ cистемных исследований. 1990. № 1. C. 72–76.
5. Dmitruk A.V. A generalized estimate on the number of zeros for solutions of a class of linear differential equations // SIAM J. Control Optim. 1992. Vol. 30, no. 5. P. 1087–1091. doi: 10.1137/0330057
6. Хайлов Е.Н., Григорьева Э.В. О продолжимости решений неавтономных квадратичных дифференциальных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. C. 279–288.
7. Schättler H., Ledzewicz U. Geometric optimal control: theory, methods and examples. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2012. 640 p.
8. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 c.
9. Szarski J. Differential inequalities. Warszawa: Polish Sci. Publ., 1965. 256 p.
10. Grigorieva E.V., Khailov E.N. Optimal vaccination, treatment, and preventive campaigns in regard to the SIR epidemic model // Math. Model. Nat. Pheno. 2014. Vol. 9, no. 4. P. 105–121. doi: 10.1051/mmnp/20149407
11. Grigorieva E.V., Khailov E.N. Optimal intervention strategies for a SEIR control model of Ebola epidemics // Mathematics. 2015. Vol. 3, no. 4. P. 961–983. doi: 10.3390/math3040961
12. Grigorieva E.V., Khailov E.N., Korobeinikov A. Optimal control for a SIR epidemic model with nonlinear incidence rate // Math. Model. Nat. Pheno. 2016. Vol. 11, no. 4. P. 89–104. doi: 10.1051/mmnp/201611407
13. Grigorieva E., Khailov E., Korobeinikov A. Optimal control for an SEIR epidemic model with nonlinear incidence rate // Stud. Appl. Math. 2018. Vol. 141. P. 353–398. doi: 10.1111/sapm.12227
14. Martcheva M. An introduction to mathematical epidemiology. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2015. 453 p.
15. Sharomi O., Malik T. Optimal control in epidemiology // Ann. Oper. Res. 2017. Vol. 251. P. 55–71. doi: :10.1007/s10479-015-1834-4
16. Кузенков О.А., Рябова Е.А. Математическое моделирование процессов отбора. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2007. 324 c.
17. Khailov E., Grigorieva E., Klimenkova A. Optimal CAR T-cell immunotherapy strategies for a leukemia treatment model // Games. 2020. Vol. 11, no. 4, art. no. 53. P. 1–26. doi: 10.3390/g11040053
18. Grigorieva E.V., Khailov E.N., Korobeinikov A. Optimal controls of the highly active antiretroviral therapy // Abstr. Appl. Anal. 2020. Vol. 2020, article ID 8107106. P. 1–23. doi: 10.1155/2020/8107106
19. Григоренко Н.Л., Хайлов Е.Н., Григорьева Э.В., Клименкова А.Д. Оптимальные стратегии CAR-T терапии лечения лейкемии в модели хищник — жертва Лотки — Вольтерры // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. C. 43–58.
doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-43-58
20. Schättler H., Ledzewicz U. Optimal control for mathematical models of cancer therapies: an application of geometric methods. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2015. 496 p.
Поступила 20.12.2023
После доработки 10.01.2024
Принята к публикации 15.01.2024
Хайлов Евгений Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: khailov@cs.msu.su
Ссылка на статью: Е.Н. Хайлов. Продолжимость решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений и их применение в задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30 , № 1. С. 237-248
English
E.N. Khailov. Extensibility of solutions of non-autonomous systems of quadratic differential equations and their application in optimal control problems
The paper considers minimization problems with a free right endpoint on a given time interval for control affine systems of differential equations. For this class of problems, we study an estimate for the number of different zeros of switching functions that determine the form of the corresponding optimal controls. This study is based on the analysis of non-autonomous linear systems of differential equations for switching functions and the corresponding auxiliary functions. Non-autonomous linear systems of third order are considered in detail. In these systems, the variables are changed so that the matrix of the system is transformed to a special upper triangular form. As a result, the number of zeros of the corresponding switching functions is estimated using the generalized Rolle’s theorem. In the case of a linear system of third order, this transformation is carried out using functions that satisfy a non-autonomous system of quadratic differential equations of the same order. The paper presents two approaches that ensure the extensibility of solutions to a non-autonomous system of quadratic differential equations to a given time interval. The first approach uses differential inequalities and Chaplygin’s comparison theorem. The second approach combines splitting a non-autonomous system of quadratic differential equations into subsystems of lower order and applying the quasi-positivity condition to these subsystems.
Keywords: switching function, generalized Rolle’s theorem, non-autonomous system of quadratic differential equations, extensibility of solutions, condition for quasi-positivity of solutions
Received December 20, 2023
Revised January 10, 2024
Accepted January 15, 2024
Evgenii Nikolaevich Khailov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov University, Moscow, 119992, Russia, e-mail: khailov@cs.msu.su
Cite this article as: E.N. Khailov. Extensibility of solutions of non-autonomous systems of quadratic differential equations and their application in optimal control problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 237–248. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S123–S133.
[References -> on the "English" button bottom right]
