А.Г. Ченцов. Замкнутые отображения и построение моделей расширения ... С. 274-295

УДК 517.977

MSC: 05A05, 97N70, 97N80

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-3-274-295

Исследуется задача о достижимости в топологическом пространстве (ТП) при ограничениях асимптотического характера (ОАХ), возникающих при ослаблении требования принадлежности образа решения заданному множеству. Возникающее при этом множество притяжения (МП) в ТП является своеобразной регуляризацией образа прообраза упомянутого множества (образ и прообраз определяются для различных, вообще говоря, отображений). При построении естественных компактных расширений задачи о достижимости с ОАХ, порождаемых семейством окрестностей фиксированного множества, исследовался случай, когда ТП, в котором реализуются результаты того или иного выбора решения, удовлетворяет аксиоме $T_2$. В настоящей работе для ряда положений, связанных с компактными расширениями, удается использовать в упомянутом качестве $T_1$-пространство, что с теоретической точки зрения представляется достаточно важным, поскольку удается выяснить, в чем же именно состоит роль аксиомы $T_2$ в вопросах, связанных с корректными расширениями задач о достижимости. Исследуются модели расширений с применением ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства  с детализацией основных элементов в случае задачи о достижимости в пространстве функционалов с топологией тихоновской степени вещественной прямой с обычной $|\cdot |$-топологией. Общие конструкции моделей расширения иллюстрируются на примере нелинейной задачи управления с фазовыми ограничениями.

Ключевые слова: множество притяжения, модель расширения, ультрафильтр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Даффин Р. Дж. Бесконечные программы // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: ИЛ, 1959. С. 263–267.

2.   Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. M.: Наука, 1971. 351 с.

3.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 620 c.

4.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022.

5.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

6.   Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 253 с.

7.   Ченцов А.Г., Бакланов А.П. Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости // Тр. МИАН. 2015. T. 291. C. 292–311.

8.   Ченцов А.Г., Бакланов А.П., Савенков И.И. Задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2016. T. 47, № 1. C. 54–118.

9.   Ченцов А.Г. Расширения абстрактных задач о достижимости: несеквенциальная версия // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2007. T. 13, № 2. C. 184–217.

10.   Chentsov A.G., Pytkeev E.G. Constraints of asymptotic nature and attainability problems // Vestnik Udmurt.Univ. Ser. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki. 2019. Vol. 29, no. 4. P. 569–582.

11.   Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 c.

12.   Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

13.   Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1997. 322 p.

14.   Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 c.

15.   Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 с.

16.   Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 c.

17.   Ченцов А.Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. С. 87–101.

18.   Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. 408 p.

19.   Ченцов А.Г. Преобразования ультрафильтров и их применение в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 85–102.

20.   Ченцов А.Г. К вопросу о реализации элементов притяжения в абстрактных задачах о достижимости // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25, вып. 2. С. 212–229.

21.   Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2008. 388 c.

22.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 c.

23.   Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2010. 541 с.

24.   Ченцов А.Г. Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. T. 18, № 4. C. 298–314.

25.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

26.   Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с.

27.   Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения–уклонения // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, № 4. С. 779–782.

28.   Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

Поступила 13.04.2023

После доработки 12.05.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук
чл.-корр. РАН, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Г. Ченцов. Замкнутые отображения и построение моделей расширения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 274-295

English

A.G. Chentsov. Closed mappings and construction of extension models

The problem of reachability in a topological space is studied under constraints of asymptotic nature arising from weakening the requirement that the image of a solution belong to a given set. The attraction set that arises in this case in the topological space is a regularization of certain kind for the image of the inverse image of the mentioned set (the image and the inverse image are defined for generally different mappings). When constructing natural compact extensions of the reachability problem with constraints of asymptotic nature generated by a family of neighborhoods of a fixed set, the case was studied earlier where the topological space in which the results of one or another choice of solution are realized satisfies the $T_2$ axiom. In the present paper, for a number of statements related to compact extensions, it is possible to use for this purpose the $T_1$-space, which seems to be quite important from a theoretical point of view, since it is possible to find out exactly what is the role of the $T_2$ axiom in questions related to correct extensions of reachability problems. We study models of extensions using ultrafilters of a broadly understood measurable space with detailing of the main elements in the case of a reachability problem in the space of functionals with the topology of the Tikhonov power of the real line with the usual $|\cdot |$-topology. The general constructions of extension models are illustrated by an example of a nonlinear control problem with phase constraints.

Keywords: attraction set, extension model, ultrafilter

Received April 13, 2023

Revised May 12, 2023

Accepted May 15, 2023

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.G. Chentsov. Closed mappings and construction of extension models. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 3, pp. 274–295.

[References -> on the "English" button bottom right]