Н.И. Черных. Восстановление аналитической в круге функции по граничным значениям ее вещественной части с помощью интерполяционных всплесков ... С. 287-293

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 42B35, 65T60

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-2-287-293

В работе предложен простой для численной реализации способ приближенного восстановления аналитической в круге функции $f(z)$ по известным (или произвольно задаваемым) граничным значениям ее вещественной части (при условии ее непрерывности) при помощи интерполяционных всплесков. Несмотря на то что хорошо известны точные аналитические формулы для решения этой задачи, явные формулы аппроксимации функции $f(z)$, предложенные здесь, применять на практике значительно проще, поскольку использование ранее известных точных формул требуют привлечения численных методов интегрирования при вычислении сверток функций с ядрами Пуассона или Шварца. Для используемых в работе аппроксимаций при любом $p\ge 2$ получены эффективные оценки сверху погрешности приближения аналитических в круге функций интерполяционными всплесками в пространствах $L_p(0,2\pi)$, которые позволяют по требуемой точности восстановления функции $f(z)$ определять параметры этих всплесков. Отметим, что при непрерывности вещественной части $f(z)$ на границе круга нельзя гарантировать непрерывность $f(z)$ в замыкании круга, поэтому в общем случае оценка погрешности аппроксимации $f(z)$ в равномерной метрике (при $p=\infty$) невозможна.

Ключевые слова: кратномасштабная аппроксимация, масштабирующая функция, интерполяционные всплески, тригонометрические полиномы, порядок аппроксимации, приближение функций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. Изд. 3-е, исп. и доп. М.: Наука, 1966. 388 с.

2.   Котельников В.А. О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи (Приложение) // Успехи физ. наук. 2006. Т. 176, № 7. С. 762–770. doi: 10.3367/UFNr.0176.200607h.0762

3.   Субботин Ю.Н. Приближение сплайнами и гладкие базисы в $C[0,2\pi)$ // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 1. С. 43–51.

4.   Meyer Y. Ondelettes et opérateurs. Hermann, Paris, 1990. Vol. I–II.

5.   Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. Vol. 69. P. 331–371. doi 10.1007/BF01456326 .

6.   Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционно-ортогональные системы всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. С. 153–161.

7.   Offin D., Oskolkov K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constr. Approx. 1993. Vol. 9. P. 319–325.

8.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

Поступила 3.04.2023

После доработки 24.04.2023

Принята к публикации 15.05.2023

Черных Николай Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: chernykh@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Н.И. Черных. Восстановление аналитической в круге функции по граничным значениям ее вещественной части с помощью интерполяционных всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 287-293

English

N.I. Chernykh. Reconstruction of a function analytic in a disk from the boundary values of its real part using interpolation wavelets

For a function $f(z)$ analytic in a disk, a method of approximate reconstruction from known (or arbitrarily specified) boundary values of its real part (under the condition of its continuity) using interpolation wavelets is proposed; the method is easy to implement numerically. Despite the fact that there are known exact analytical formulas for solving this problem, the explicit formulas for approximating the function $f(z)$ proposed here are much easier to apply in practice, since the previously known exact formulas lead to the necessity to apply numerical integration methods when calculating convolutions of functions with Poisson or Schwartz kernels. For the approximations used in this paper, effective upper bounds are obtained for the error of approximation of functions analytic in the disk by interpolation wavelets in the spaces $L_p(0,2\pi)$ for any $p\ge 2$. These estimates can be used to find the parameters of the wavelets from a desired accuracy of recovering the function $f(z)$. Note that if the real part of $f(z)$ is continuous on the boundary of the disk, then the continuity of $f(z)$ in the closure of the disk cannot be guaranteed; that is why it is impossible to estimate the approximation error for $f(z)$ in the uniform metric (for $p=\infty$) in the general case.

Keywords: multiresolution approximation, scaling function, interpolation wavelets, trigonometric polynomials, approximation order, function approximation

Received April 3, 2023

Revised April 24, 2023

Accepted May 15, 2023

Nikolai Ivanovich Chernykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: chernykh@imm.uran.ru

Cite this article as: N.I. Chernykh. Reconstruction of a function analytic in a disk from the boundary values of its real part using interpolation wavelets. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 287–293.

[References -> on the "English" button bottom right]