УДК 517.518
MSC: 42A32, 33B30, 41A10, 11M06, 33B15
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-177-190
Исследование первого автора (результаты разд. 2–3) выполнено в МГУ имени М.В. Ломоносова при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00545). Исследование второго автора (результаты разд. 6) выполнено в МГУ имени М.В. Ломоносова при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20-01-00584).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S204–S217. (Abstract)
Для функций $f_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\cos kx$ и $g_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\sin kx$ получены равномерные по параметру $a\in(0,1)$ оценки приближений этих функций первыми членами их асимптотик $F_a(x)=\sin(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$ и $G_a(x)=\cos(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$. А именно, доказано, что для всех $a\in(0,1)$ и $x\in(0,\pi]$ верны неравенства
$G_a(x)-\dfrac{x}{2}<g_a(x)<G_a(x)-\dfrac{x}{12}$
и
$F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{\zeta(3)}{4\pi^3}\,x^2\sin(\pi a/2)<f_a(x)<F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{1}{18}\,x^2\sin(\pi a/2).$
Показано, что эти оценки неулучшаемы в следующем смысле. В оценке снизу синус-ряда вычитаемое $x/2$ нельзя заменить на $kx$, взяв какое-либо число $k<1/2$: после этого оценка перестанет быть верной при малых $x$ и значениях $a$, близких к $1$. В оценке сверху вычитаемое $x/12$ нельзя заменить на $kx$, взяв какое-либо число $k>1/12$: после этого оценка перестанет быть верной при значениях $a$ и $x$, близких к $0$. В оценке снизу косинус-ряда множитель $\zeta(3)/(4\pi^3)$ при $x^2\sin(\pi a/2)$ нельзя заменить бóльшим числом: после этого оценка перестанет быть верной при близких к $0$ значениях $a$ и $x$. В оценке сверху косинус-ряда множитель $1/18$ при $x^2\sin(\pi a/2)$, вероятно, можно уменьшить, но заменить его числом $1/24$ нельзя: при любом $a\in[0.98,1)$ такая оценка не будет выполняться не только в точке $x=\pi$, но и на некотором отрезке $x_0(a)\le x\le\pi$, где $x_0(a)\to0$ при $a\to1-$. Полученные результаты позволяют уточнить оценки функций $f_a$ и $g_a$, найденные недавно другими авторами.
Ключевые слова: специальные тригонометрические ряды, полилогарифм, периодическая дзета-функция
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 240 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. . М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.
3. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1953. 407 с.
4. Erdélyi A. (ed.) Higher transcendental functions. Vol. 1. NY: McGraw Hill, 1953. 302 p.
5. Leau L. Recherches des singularités d’une fonction définie par un développement de Taylor // J. de Math. (5). 1899. Vol. 5. P. 365–425.
6. Liflyand E., Podkorytov A. Lebesgue constants of Riesz type means of negative order // J. Math. Anal. Appl. 2022. Vol. 505, no. 2. Article no. 125618. doi: 10.1016/j.jmaa.2021.125618
7. Lindelöf E.L. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Paris: Gauthier–Villar, 1905. 158 p.
8. Olver F.W.J. et al. (eds.) NIST Handbook of Mathematical Functions. NY: Cambridge Univ. Press, 2010. 968 p. The online version: The NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF): https://dlmf.nist.gov/
9. Truesdell C. On a function which occurs in the theory of the structure of polymers // Ann. Math. (2). 1945. Vol. 46, no. 1. P. 144–157. doi: 10.2307/1969153
Поступила 19.05.2022
После доработки 29.07.2022
Принята к публикации 4.08.2022
Попов Антон Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
МГУ имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: station@list.ru
Родионов Тимофей Викторович
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент
МГУ имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: rodionovtv@mail.ru
Ссылка на статью: А.Ю. Попов, Т.В. Родионов. Равномерные по параметру $a\in(0,1)$ двусторонние оценки сумм синус- и косинус-рядов с коэффициентами вида $1/k^a$ через первые слагаемые их асимптотик // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 177-190
English
A.Yu. Popov, T.V. Rodionov. Uniform with respect to the parameter $a\in(0,1)$ two-sided estimates of the sums of sine and cosine series with coefficients $1/k^a$ by the first terms of their asymptotics
Uniform with respect to the parameter $a\in(0,1)$ estimates of the functions $f_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\cos kx$ and $g_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\sin kx$ by the first terms of their asymptotic expansions $F_a(x)=\sin(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$ and $G_a(x)=\cos(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$ are obtained. Namely, it is proved that the inequalities
$G_a(x)-\dfrac{x}{2}<g_a(x)<G_a(x)-\dfrac{x}{12}$
and
$F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{\zeta(3)}{4\pi^3}\,x^2\sin(\pi a/2)<f_a(x)<F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{1}{18}\,x^2\sin(\pi a/2)$
are valid for all $a\in(0,1)$ and $x\in(0,\pi]$. It is shown that the estimates are unimprovable in the following sense. In the lower estimate for the sine series, the subtrahend $x/2$ cannot be replaced by $kx$ with any $k<1/2$: the estimate ceases to be fulfilled for sufficiently small $x$ and the values of $a$ close to $1$. In the upper estimate, the subtrahend $x/12$ cannot be replaced by $kx$ with any $k>1/12$: the estimate ceases to be fulfilled for the values of $a$ and $x$ close to $0$. In the lower estimate for the cosine series, the multiplier $\zeta(3)/(4\pi^3)$ of $x^2\sin(\pi a/2)$ cannot be replaced by any larger number: the estimate ceases to be fulfilled for $x$ and $a$ close to $0$. In the upper estimate for the cosine series, the multiplier $1/18$ of $x^2\sin(\pi a/2)$ can probably be replaced by a smaller number but not by $1/24$: for every $a\in[0.98,1)$, such an estimate would not hold at the point $x=\pi$ as well as on a certain closed interval $x_0(a)\le x\le\pi$, where $x_0(a)\to0$ as $a\to1-$. The obtained results allow us to refine the estimates of the functions $f_a$ and $g_a$ established recently by other authors.
Keywords: special trigonometric series, polylogarithm, periodic zeta function
Received May 19, 2022
Revised July 29, 2022
Accepted August 4, 2022
Funding Agency: The research of the first author (the results of Sections 2–3) was carried out at Moscow State University and supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-21-00545). The research of the second author (the results of Section 6) was carried out at Moscow State University and supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00584).
Anton Yur’evich Popov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University and Moscow Centre of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: station@list.ru
Timofey Victorovich Rodionov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University and Moscow Centre of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: rodionovtv@mail.ru
Cite this article as: A.Yu. Popov, T.V. Rodionov. Uniform with respect to the parameter $a\in(0,1)$ two-sided estimates of the sums of sine and cosine series with coefficients $1/k^a$ by the first terms of their asymptotics. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 177–190; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S204–S217.
[References -> on the "English" button bottom right]
