УДК 517.518.475
MSC: 42B05, 42B08
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-121-127
Исследование выполнено в МГУ имени М. В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект 22-11-00129).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S156–S161. (Abstract)
Из знаменитой теоремы А. Н. Колмогорова (1925) вытекает, что частные суммы любой интегрируемой функции f сходятся к ней по мере. Следовательно, если подпоследовательность частных сумм имеет предел на множестве положительной меры, то она на этом множестве может сходиться только к f. В то же время Р. Д. Гецадзе (1986) показал, что в пространстве размерности больше 1 кубические частные суммы интегрируемой функции могут не сходиться по мере. В работе автора (1989) показано, что функцию можно выбрать так, что любая подпоследовательность кубических частных сумм почти всюду не ограничена. Оставался открытым вопрос: верно ли, что если подпоследовательность кубических частных сумм сходится на множестве положительной меры, то ее пределом почти всюду на этом множестве будет исходная функция? Мы даем положительный ответ на этот вопрос, причем не только для кубических сумм, но и для сумм по Прингсхейму. Для сферических сумм соответствующий вопрос остается открытым. Подпоследовательности частных сумм связаны с универсальными тригонометрическими рядами. Мы будем говорить, что d-мерный тригонометрический ряд является универсальным, если для любой измеримой d-мерной функции f, 2π-периодической по каждому переменному, найдется подпоследовательность частных сумм этого ряда, сходящаяся к f почти всюду. Это определение зависит от выбора класса частных сумм тригонометрического ряда. Из недавнего результата М. Г. Григоряна (2022), в частности, следует, что для любого d существует d-мерный тригонометрический ряд, универсальный как для сумм Прингсхейма, так и для сферических частных сумм. В силу основного результата настоящей работы ряд Фурье не может быть универсальным для сумм Прингсхейма.
Ключевые слова: измеримые функции, интегрируемые функции, тригонометрические ряды Фурье, сходимость по Прингсхейму, подпоследовательность частных сумм, сходимость почти всюду, метод Бернштейна суммируемости рядов Фурье
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kolmogoroff A. N. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier // Fund. Math. 1925. Vol. 7. P. 24–29. doi: 10.4064/fm-7-1-24-29
2. Гецадзе Р. Д. О расходимости по мере кратных рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР. 1986. Т. 122, № 2. С. 269–271.
3. Меньшов Д.Е. О частичных суммах тригонометрических рядов // Мат. сб. 1947. Vol. 20, no. 2. C. 197–238.
4. Конягин С. В. О расходимости подпоследовательности частных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 190. С. 102–116.
5. Григорян М. Г. О почти универсальных двойных рядах Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 91–102. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-91-102
6. Bernstein S. Sur un procédé de summationes séries tigonométriques // Comptes Rendus. 1930. Vol. 5, no. 191. P. 976–979.
7. Бернштейн С. Н. Об одном методе суммирования тригонометрических рядов // Собрание сочинений. Т. 1: Конструктивная теория функций (1905–1930). М.: Изд-во АН СССР, 1952. С. 523–525.
8. Rogosinski W. Über die Abschnitte trigonometrischer Reihen // Math. Ann. 1925. Bd. 95. S. 110–134.
9. Тригуб Р. М. Полиномиальный метод Рогозинского — Бернштейна суммирования тригонометрических рядов Фурье // Мат. заметки. 2022. Т. 111, № 4. С. 592–605.
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
11. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963. 256 с.
Поступила 10.06.2022
После доработки 24.06.2022
Принята к публикации 27.06.2022
Конягин Сергей Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: konyagin@mi-ras.ru
Ссылка на статью: С.В. Конягин. О сходимости подпоследовательности частных сумм тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 121-127
English
S.V. Konyagin. On the Pringsheim convergence of a subsequence of partial sums of a Fourier trigonometric series
As follows from A. N. Kolmogorov’s famous theorem (1925), partial sums of any integrable function f converge to f in measure. Therefore, if a subsequence of partial sums has a limit on a set of positive measure, then this subsequence can converge on this set to f only. Meantime, R. D. Getsadze (1986) showed that in a space of dimension greater than 1 the cubic partial sums of an integrable function may diverge in measure. In the author’s paper (1989), it was shown that one can choose a function in such a way that any subsequence of the cubic partial sums is unbounded almost everywhere. The following question remained open: is it true that if a subsequence of the cubic partial sums converges on a set of positive measure, then the limit coincides with the original function almost everywhere on this set? We give an affirmative answer to this question, moreover, not only for the cubic partial sums, but for Pringsheim’s sums as well. The corresponding question for the spherical sums is still open. Subsequences of partial sums are connected with universal trigonometric series. We say that a d-dimensional trigonometric series is universal if, for any measurable d-dimensional function f that is 2π-periodic in each variable, there is a subsequence of partial sums of this series converging to f almost everywhere. This definition depends on the choice of the class of partial sums of the trigonometric series. As follows from M. G. Grigoryan’s recent result (2022), for any d there is a d-dimensional trigonometric series that is universal both for Pringsheim’s sums and for the spherical sums. Due to the main result of the present paper, a Fourier series cannot be universal for Pringsheim’s sums.
Keywords: measurable functions, integrable functions, trigonometric Fourier series, Pringsheim convergence, subsequence of partial sums, almost everywhere convergence, Bernstein’s summation method for Fourier series
Received June 10, 2022
Revised June 24, 2022
Accepted June 27, 2022
Funding Agency: This research was conducted at Lomonosov Moscow State University with the support of the Russian Science Foundation (grant no. 22-11-00129).
Sergei Vladimirovich Konyagin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow Lomonosov State University, Moscow, e-mail: konyagin@mi-ras.ru
Cite this article as: S.V. Konyagin. On the Pringsheim convergence of a subsequence of partial sums of a Fourier trigonometric series. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 121–127; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S156–S161.
[References -> on the "English" button bottom right]
