УДК 517.5
MSC: 97N50
DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-224-233
Полная версия статьи
Для непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $f(x)$ по сеткам попарно различных узлов $\Delta\colon a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ $(N\geqslant 2)$ исследована скорость сходимости кусочно рациональных функций $R_{N,1} (x)=R_{N,1}(x,f)$ таких, что при $x\in [x_{i-1}, x_i]$ ($i=1,2,\dots,N$) имеем $R_{N,1} (x)=(R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, где $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i)$ ($i=1,2,\dots,N-1$), коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$ и $\gamma_i$ определяются условиями $R_i(x_j)=f(x_j)$ при $j=i-1,i,i+1$, а полюсы $g_i$ - узлами; считаем $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1} (x)$.
Даны оценки скорости сходимости $R_{N,1} (x,f)$ через различные структурные характеристики функции:
1) в случае равномерных сеток узлов - через модуль непрерывности третьего порядка функции $f(x)$;
2) для непрерывно дифференцируемых функций $f(x)$ с выбором узлов сетки - через вариацию и через модуль изменения производных первого и второго порядков; при этом оценки через вариацию имеют порядок наилучших полиномиальных сплайн-приближений.
Ключевые слова: сплайны, интерполяционные сплайны, рациональные сплайны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций // Мат. заметки. 1970. Т. 7, вып. 1. С. 31–42.
2. Алберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 319 c.
3. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 c.
4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн–функций. М.: Наука, 1980. 352 c.
5. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 c.
6. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд–во ЛГУ, 1986. 120 c.
7. Schaback R. Spezielle rationale Splinefunktionen // J. Approx. Theory. 1973. Vol. 7, no. 2. P. 281–292.
8. Edeo A., Gofeb G., Tefera T. Shape preserving C2 rational cubic spline interpolation // American Scientific Research Journal for Engineering, Technology and Sciences (ASRJETS). 2015. Vol. 12, no. 1. P. 110–122.
9. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Сплайны по рациональным интерполянтам // Дагестанские электрон. мат. изв. 2015. Вып. 4. C. 22–31.
10. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Сплайны по четырехточечным рациональным интерполянтам // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. C. 233–246.
11. Субботин Ю.Н. Вариации на тему сплайнов // Фундамент. и прикл. математика 1997. Т. 3, вып. 4. С. 1043–1058.
12. Севастьянов Е.А. Кусочно-монотонная аппроксимация и Φ–вариации // Analysis Math. 1975. Вып. 1. С. 141–164.
13. Lagrange R. Sur oscillations d‘order superior d‘une functions numerique // Ann. Sci. Д Ecole Norm. Sup. (3). 1965. Vol. 82, no 2. P. 101–130.
14. Чантурия З.А. О равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сб. 1976. Т. 100, № 4. С. 534–554.
15. Whitney H. On functions with bounded n–th differences // J. Math. Pures Appl. 1957. Vol. 6 (9), no. 36. P. 67–95.
Поступила 17.04.2017
Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой математического анализа
Дагестанский государственный университет
главный науч. сотрудник
Дагестанский научный центр РАН г. Махачкала, республика Дагестан,
e-mail: ar-ramazanov@rambler.ru
Магомедова Вазипат Гусеновна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Дагестанский государственный университет г. Махачкала, республика Дагестан
e-mail: vazipat@rambler.ru
English
A.-R.K. Ramazanov, V.G. Magomedova. Convergence bounds for splines for three-point rational interpolants of continuous and continuously differentiable functions.
For functions $f(x)$ continuous on an interval $[a,b]$ and grids of pairwise different nodes $\Delta\colon a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ $(N\geqslant 2)$, we study the convergence rate of piecewise rational functions $R_{N,1} (x)=R_{N,1}(x,f)$ such that, for $x\in [x_{i-1}, x_i]$ ($i=1,2,\dots,N$), we have $R_{N,1}(x)=(R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, where $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i)$ ($i=1,2,\dots,N-1$); the coefficients $\alpha_i$, $\beta_i$, and $\gamma_i$ are defined by the conditions $R_i(x_j)=f(x_j)$ for $j=i-1,i,i+1$; and the poles~$g_i$ are defined by the nodes. It is assumed that $R_0(x)\equiv R_1(x)$ and $R_N(x)\equiv R_{N-1} (x)$.
Bounds for the convergence rate of $R_{N,1} (x,f)$ are found in terms of certain structural characteristics of the function:
(1) the third-order modulus of continuity in the case of uniform grids;
(2) the variation and the modulus of change of the first and second derivatives in the case of continuously differentiable functions $f(x)$; here, the bounds in terms of the variation have the order of the best polynomial spline approximations.
Keywords: splines, interpolation splines, rational splines.
The paper was received by the Editorial Office on April 17, 2017.
Abdul-Rashid Kehrimanovich Ramazanov, Dr. Phys.-Math., Prof., Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia; Dagestan Scientific Center RAN, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367025 Russia, e-mail: ar-ramazanov@rambler.ru
Vazipat Gusenovna Magomedova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia, e–mail: vazipat@rambler.ru
