УДК 517.977
MSC: 52A10, 49Q15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-139-158
Разработан подход к построению минимаксного решения плоской задачи Дирихле для уравнения Беллмана для случая замкнутого невыпуклого телесного краевого множества. Подход базируется на конструкциях теории альфа-множеств, позволяющих вскрывать особенности невыпуклых множеств и формировать негладкие решения уравнений в частных производных первого порядка. Также привлекаются понятия, характеризующие свойства слабо выпуклых множеств, метрические проекции, опорные по Ефимову–Стечкину шары. В работе изложена процедура построения минимаксного решения в ситуации, когда краевое множество имеет единственную псевдовершину — особую точку границы множества, отвечающую за зарождение сингулярности у минимаксного решения. Наличие у краевого множества единственной псевдовершины обеспечивает в ряде случаев перепараметризацию всей его границы, что, в свою очередь, создает основу для построения в параметрическом виде минимаксного решения в целом. В работе предъявлена и обоснована процедура сепарации области рассмотрения, позволяющая конструировать на ней негладкое решение краевой задачи на подобластях в ситуации, при которой псевдовершина является точкой излома границы краевого множества. Предложенная конструкция реализована в явном виде на примере краевого множества с кусочно-гладкой границей.
Ключевые слова: уравнение Беллмана, минимаксное решение, альфа-множество, метрическая проекция, псевдовершина, биссектриса множества, опорный шар, управление, быстродействие
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 3 (75). С. 3–73.
2. Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоби типа эйконала, I. // Мат. сб. 1975. Т. 98, № 3. С. 450–493.
3. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math.Soc. 1983. Vol. 277, no. 1. P. 1–42. https://doi.org/10.2307/1999343
4. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 419 с. ISBN: 5-7692-0340-4 .
5. Kalise D., Kunisch K., Rao Z. (eds.) Hamilton–Jacobi–Bellman equations. Numerical methods and applications in optimal control. Berlin; Boston: De Gruyter, 2018, 209 p. ISBN: 9783110543599 .
6. Covei D.P. Radial and non-radial solution structures for quasilinear Hamilton–Jacobi–Bellman equations in bounded settings. ArXiv:2511.06277. 2025, 19 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2511.06277
7. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
8. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т комп. технологий, 2003. 336 с. ISBN: 5-93972-206-7 .
9. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. Наука, М. 1981. 384 с.
10. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Теоремы об отделимости α-множеств в евклидовом пространстве // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 277–291.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-2-277-291
11. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127, № 2. С. 254–257.
12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. 2-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 760 с.
13. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с. ISBN 5-02-000139-2
14. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикл. математика и информатика: Тр. фак. ВМиК МГУ М. В. Ломоносова. М.: МАКС Пресс, 2007. № 27. С. 65–79.
15. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Численно-аналитическое построение обобщенного решения уравнения эйконала в плоском случае // Мат. сб. 2024. Т. 215, вып. 9. С. 99–124. https://doi.org/10.4213/sm9500
16. Субботина Н.Н., Шемякин Д.В. Метод характеристик в решении задачи Дирихле для уравнения эйконала в неограниченной области // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2.
С. 231-241. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-231-241
17. Боровских А.В. Уравнение эйконала для анизотропной среды // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. Т. 29. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2013. С. 162–229.
18. Алимов А.Р. Об особенностях решений уравнения эйконала // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 10. С. 1354–1359. https://doi.org/10.1134/S0374064119100066
19. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 108–119. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-108-119
20. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Аналитические методы построения области дифференцируемости минимаксного решения в одном классе краевых задач для уравнений гамильтонова типа // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Комп. науки. 2026. Т. 36. № 1. С. 23–41. https://doi.org/10.35634/vm260102
21. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. 208 с.
22. Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 276–290.
23. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. С. 82–100.
24. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей, пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда М.: Мир, 1988. 262 с.
25. Местецкий Л.М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. М.: Физматлит, 2009. 288 с.
26. Lee R. Nackman, Vijay Srinivasan. Bisectors of linearly separable sets // Discret. Comput. Geom. 1991. Vol. 6. P. 263–275. https://doi.org/10.1007/BF02574688
27. Imai K., Kawamura A., Matoušek J., Reem, D., Tokuyama T. Distance k-sectors exist // Comput. Geometry. 2010. Vol. 43 (9). P. 713–720. https://doi.org/10.1016/j.comgeo.2010.05.001
28. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118, № 1. С. 17–19.
29. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах // Мат. заметки. 1970. Т. 7, № 5. С. 593–604.
30. Attali D., Boissonnat JD., Edelsbrunner H. Stability and computation of medial axes — a state-of-the-art report // Mathematical Foundations of Scientific Visualization, Computer Graphics, and Massive Data Exploration. Mathematics and Visualization / eds. T. Möller, B. Hamann, R.D. Russell. Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. P. 109–125. https://doi.org/10.1007/b106657_6
31. Białożyt A. The tangent cone, the dimension and the frontier of the medial axis // Nonlinear Differ. Equ. Appl. 2023. Vol. 30, no. 27. https://doi.org/10.1007/s00030-022-00833-9
32. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Нахождение величины чебышёвского слоя плоского множества с помощью конструкций теории альфа-множеств и опорных шаров Ефимова — Стечкина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 264–280.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-264-280
33. Горески М., Макферсон Р. Стратифицированная теория Морса. Пер. с англ. М: Мир, 1991. 351 с. https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7
Поступила 20.04.2026
После доработки 08.06.2026
Принята к публикации 15.06.2026
Лебедев Павел Дмитриевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: pleb@yandex.ru
Успенский Александр Александрович
д-р физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: uspen@imm.uran.ru
Ссылка на статью: П.Д. Лебедев, А.А. Успенский. Процедура сепарации и параметризации минимаксного решения в одном классе краевых задач для уравнения Беллмана // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 139–158
English
P.D. Lebedev, A.A. Uspenski. The procedure for separating and parameterizing the minimax solution in one class of boundary value problems for the Bellman equation
An approach to constructing a minimax solution of the planar Dirichlet problem for the Bellman equation for the case of a closed non-convex boundary set with a non-empty interior has been developed. The approach is based on the constructions of the theory of alpha-sets, which allow revealing the features of non-convex sets and forming non-smooth solutions of first-order partial differential equations. The concepts characterizing the properties of weakly convex sets, metric projections, and Efimov–Stechkin support balls. are also involved. The paper describes a procedure for constructing a minimax solution in a situation where the edge set has a single pseudo-vertex, a special point on the edge set that causes the minimax solution to become singular. In some cases, the presence of a single pseudo-vertex on the edge set allows for the reparameterization of the entire edge set, which in turn provides a basis for constructing a minimax solution in a parametric form. In the paper, a procedure for the separation of the domain of consideration is presented and substantiated, which allows for the construction of a non-smooth solution of the boundary value problem on subdomains in a situation where the pseudo-vertex is a point of inflection on the boundary of the boundary set. The proposed construction is implemented explicitly using the example of a boundary set with a piecewise smooth boundary.
Keywords: Bellman equation, minimax solution, alpha set, metric projection, pseudo-vertex, set bisector, support ball, control, velocity
Received April 20, 2024
Revised June 08, 2026
Accepted June 15, 2026
Pavel Dmitrievich Lebedev, Cand. Sci (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: pleb@yandex.ru
Aleksandr Aleksandrovich Uspenskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: uspen@imm.uran.ru
Cite this article as: P.D. Lebedev, A.A. Uspenski. The procedure for separating and parameterizing the minimax solution in one class of boundary value problems for the Bellman equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol 32, no. 3, pp. 139–158.
[References -> on the "English" button bottom right]
