УДК 517.977
MSC: 93C41, 93C55, 93C10, 93B52, 52B12
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-122-138
Рассматривается задача терминального уклонения для многошаговых систем с исходно линейной структурой, где действуют управления $u$, $U$ и $v$, $V$, причем $u$ и $v$ входят аддитивно, а $U$ и $V$ — в матрицу системы. Наличие $U$ и $V$ приводит к нелинейным системам билинейного типа. Цель $v$ и $V$ — избежать попадания траектории на заданное терминальное множество в заданный конечный момент времени при любых допустимых $u$ и $U$. Предполагается, что терминальное множество — это параллелепипед, управления $u$ и $v$ стеснены параллелотопозначными ограничениями, $U$ и $V$ — интервальными. Разработан полиэдральный метод синтеза управлений $v$ и $V$ с использованием полиэдральных (параллелепипедозначных и параллелотопозначных) трубок, которые могут быть найдены из рекуррентных соотношений по явным формулам. Для построения решения изучаемой задачи вначале рассматривается вспомогательная одношаговая полиэдральная задача уклонения с четырьмя управлениями $u$, $v$ и $U$, $V$. Найдено несколько ее решений. Проведено их сравнение. Работа обобщает результаты, полученные автором ранее, на случай систем, где могут присутствовать матричные управления $V$, а также усиливает их для случая отсутствия $V$ (в смысле ослабления предположений и возможности построения меньших по включению полиэдральных трубок). Кроме того, найдены пошаговые гарантированные оценки снизу для отклонения траектории от сечений полиэдральных трубок разрешимости.
Ключевые слова: конфликтно управляемые системы, задача уклонения, билинейность, синтез управлений, полиэдральные методы, параллелепипеды, параллелотопы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. NY: Springer, 1988. 517 p.
2. Kurzhanski A., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhäuser, 1996. 321 p.
3. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes: theory and computation. Basel: Birkhäuser, 2014. 445 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10277-1
4. Ушаков В.Н., Тарасьев А.М., Ушаков А.В. Минимаксная дифференциальная игра с фиксированным моментом окончания // Мат. теория игр и ее приложения. 2024. Т. 16, № 3. С. 77–112.
5. Althoff M., Frehse G., Girard A. Set propagation techniques for reachability analysis // Annu. Rev. Control Robot. Auton. Syst. 2021. Vol. 4. P. 369–395. https://doi.org/10.1146/annurev-control-071420-081941
6. Patsko V., Kumkov S., Turova V. Pursist-evasion games // Handbook of Dynamic Game Theory / eds. T. Basar, G. Zaccour. Cham: Springer, 2018. P. 951–1038. https://doi.org/10.1007/978-3-319-44374-4_30
7. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Ушаков А.В., Кувшинов О.А. К решению некоторых задач управления нелинейными системами // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2026. Т. 36, вып. 1. С. 99–136. https://doi.org/10.35634/vm260106
8. Chernousko F.L., Rokityanskii D.Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbations // J. Optim. Theory Appl. 2000. Vol. 104, no. 1. P. 1–19. https://doi.org/10.1023/A:1004687620019
9. Filippova T.F. HJB-inequalities in estimating reachable sets of a control system under uncertainty // Ural Math. J. 2022. Vol. 8, no. 1. P. 34–42. https://doi.org/10.15826/umj.2022.1.004
10. Гусев М.И., Осипов И.О. О задаче локального синтеза для нелинейных систем с интегральными ограничениями // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2022. Т. 32, вып. 2. С. 171–186. https://doi.org/10.35634/vm220202
11. Kurzhanskiy A.A., Varaiya P. Reach set computation and control synthesis for discrete-time dynamical systems with disturbances // Automatica. 2011. Vol. 47, no. 7. P. 1414–1426. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2011.02.009
12. Успенский А.А. Слабая инвариантность относительно управляемой системы цилиндрического множества с гладкой границей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. С. 241–250. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-241-250
13. Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М. Формирование оптимального по быстродействию ограниченного управления для линейных дискретных систем на основе метода суперэллипсоидальной аппроксимации // Автоматика и телемеханика. 2023. № 9. С. 37–67.
https://doi.org/10.31857/S0005231023090027
14. Субботина Н.Н., Субботин А.И. Игровая задача управления при неполной информации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. № 5. С. 14–23.
15. Kostousova E.K. On polyhedral control synthesis for dynamical discrete-time systems under uncertainties and state constraints // Discr. Contin. Dyn. Syst., Ser. A. 2018. Vol. 38, no. 12. P. 6149–6162. https://doi.org/10.3934/dcds.2018153
16. Martynov K., Botkin N.D., Turova V.L., Diepolder J. Quick construction of dangerous disturbances in conflict control problems // Annals of the International Society of Dynamic Games. 2020. Vol. 17. P. 3–24. https://doi.org/10.1007/978-3-030-56534-3_1
17. Костоусова Е.К. О полиэдральном методе синтеза управлений в задаче целевого уклонения в линейных многошаговых системах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3.
С. 101–114. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-3-101-114
18. Костоусова Е.К. О полиэдральном методе синтеза управлений для задачи усиленного уклонения в многошаговых системах с билинейностью и фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. С. 125–140. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-125-140
19. Kousik S., Dai A., Gao G.X. Ellipsotopes: Uniting ellipsoids and zonotopes for reachability analysis and fault detection // IEEE Trans. Autom. Control. 2023. Vol. 68, no. 6. P. 3440–3452. https://doi.org/10.1109/TAC.2022.3191750
20. Kostousova E.K. External polyhedral estimates for reachable sets of linear discrete-time systems with integral bounds on controls // Int. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 50, no. 2. P. 187–194.
21. Martynov K., Botkin N., Turova V., Diepolder J. Real-time control of aircraft take-off in windshear. Part I: Aircraft model and control schemes // IEEE Xplore Digital Library. 2017 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2017), July 3–6, 2017, Valletta, Malta: Proc. P. 277–284. https://doi.org/10.1109/MED.2017.7984131
Поступила 23.04.2026
После доработки 12.05.2026
Принята к публикации 17.05.2026
Костоусова Елена Кирилловна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kek@imm.uran.ru
Ссылка на статью: Е.К. Костоусова. О полиэдральном методе синтеза аддитивных и матричных управлений для задачи терминального уклонения в многошаговых системах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 122–138
English
E.K. Kostousova. On a polyhedral method of synthesis of additive and matrix controls for a terminal evasion problem in discrete-time systems
A terminal evasion problem is considered for discrete-time systems with an initially linear structure, where controls $u$, $U$ and $v$, $V$ operate; here $u$ and $v$ are included additively, and $U$ and $V$ are included in the system matrix. The presence of $U$ and $V$ leads to nonlinear systems of bilinear type. The aim of $v$ and $V$ is to avoid the trajectory hitting a given terminal set at a given final instant for any admissible $u$ and $U$. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls $u$ and $v$ are constrained by parallelotope-valued constraints, $U$ and $V$ are constrained by interval constraints. A polyhedral method for synthesizing controls $v$ and $V$ is developed using polyhedral (parallelepiped-valued and parallelotope-valued) tubes, which can be found from recurrence relations using explicit formulas. To construct a solution to the problem under study, an auxiliary one-step polyhedral evasion problem with four controls $u$, $v$ and $U$, $V$ is first considered. Several solutions are found and compared for it. The paper generalizes the author previous results to systems in which the matrix controls $V$ may be present, and also strengthens them for the case without $V$ (in the sense of weakening assumptions and the possibility of constructing polyhedral tubes smaller in inclusion). Furthermore, guaranteed lower bounds are found for the deviation of the trajectory from the cross-sections of polyhedral solvability tubes.
Keywords: conflict-controlled systems, evasion problem, bilinearity, control synthesis, polyhedral methods, parallelepipeds, parallelotopes
Received April 23, 2026
Revised May 12, 2026
Accepted May 17, 2026
Elena Kirillovna Kostousova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: kek@imm.uran.ru
Cite this article as: E.K. Kostousova. On a polyhedral method of synthesis of additive and matrix controls for a terminal evasion problem in discrete-time systems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol 32, no. 3, pp. 122–138.
[References -> on the "English" button bottom right]
