УДК 517.977
MSC: 91A23,91A24,91A80
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-44-56
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по cоглашению № 075-15-2025-345.
Рассматривается нелинейный конфликтно управляемый процесс двух игроков при наличии фазового ограничения. Процесс рассматривается с точки зрения первого игрока. Его цель вывести управляемый объект на терминальное множество при допустимом управлении второго игрока и выполнении фазового ограничения. Считается, что первый игрок знает динамические характеристики управляемого объекта, фазовые переменные и управление второго игрока до текущего момента времени. Изложены достаточные условия, при которых первый игрок может гарантировать выведение фазового вектора игры на терминальное множество при выполнении фазовых ограничений. Приводится форма позиционных контруправлений первого игрока гарантирующих завершение процесса сближения. Рассмотрены примеры.
Ключевые слова: дифференциальные игры, позиционное управление, контруправление, позиционное контруправление, фазовое ограничение, задача сближения, структурный синтез, управление с поводырем, аналитическое конструирование агрегированных регуляторов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Физматлит, 1985. 520 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 c.
3. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Физматлит, 1981. 288 с.
4. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т. 112, № 3. С. 307–330.
5. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Метод экстремального сдвига Н.Н. Красовского и задачи граничного управления // Автоматика и телемеханика. 2009. № 4. С. 18–30.
6. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 3–26.
7. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх: учеб. пособ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 65 с.
8. Григоренко Н.Л. О нелинейных дифференциальных играх сближения в классе позиционных контруправлений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 77–86. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-77-86
9. Игнатьев М.Б. Голономные автоматические системы. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1963. 204 с.
10. Григоренко Н.Л. Синтез управления движением нелинейной системы по заданной пространственной траектории // Вычислительная математика и кибернетика: Тр. фак. ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. 2023. Вып. 73. С. 75–83.
11. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория системного синтеза. М.: Книжный дом “Либроком”, 2019. 240 с.
12. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1985. 448 с.
13. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2007. 440 с.
14. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН. 1985. Т. 169. P. 194–252.
15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с. ISBN: 5-88688-056-9 .
Поступила 13.05.2026
После доработки 18.06.2026
Принята к публикации 22.06.2026
Григоренко Николай Леонтьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: grigor@cs.msu.ru
Ссылка на статью: Н.Л. Григоренко. О задаче сближения при фазовом ограничении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. C. 44-56
English
N.L. Grirorenko. On the problem of approach under phase constraint
A nonlinear conflict-controlled process involving two players is considered under a phase constraint. The process is viewed from the perspective of the first player. Its goal is to bring the controlled object to the terminal set under admissible control by the second player and the phase constraint is satisfied. It is assumed that the first player knows the dynamic characteristics of the controlled object, the phase variables, and the second player’s control up to the current moment. Sufficient conditions are presented under which the first player can guarantee the game’s phase vector will reach the terminal set under the phase constraints. A form of positional countercontrol by the first player that guarantees the completion of the convergence process is presented. Examples are provided.
Keywords: differential games, positional control, countercontrol, positional countercontrol, phase constraint, approach problem, structural synthesis, guided control, analytic design of aggregated controllers
Received May 13, 2026
Revised June 18, 2026
Accepted June 22, 2026
Funding Agency: The work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation as part of the program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics under the Agreement No. 075-15-2025-345.
Nikolay Leontievich Grigorenko, Dr. Phis.-Math Sci., Prof., Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of the Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: grigor@cs.msu.ru
Cite this article as: N.L. Grigorenko. On the problem of approach under phase constraint. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 3, pp. 44–56.
