УДК 517.977
MSC: 93B03, 49K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-57-70
Работа поддержана Российским научным фондом (проект № 25-11-00269, https://rscf.ru/project/25-11-00269/).
В работе рассматриваются множества достижимости в заданный момент времени нелинейных управляемых систем с интегральными ограничениями на управление в виде шара в пространстве $L_p$ при $p \geq 1$ Изучается вопрос о возможности их аппроксимации множествами достижимости при дополнительном ограничении вида $\|u\|_\infty \leq \nu$ на норму управления в $L_\infty$ при $\nu \to \infty$. Получены достаточные условия, выполнение которых обеспечивает совпадение множеств достижимости при конечном $\nu$, если $p>1$. Для $p=1$ в линейном случае получены оценки погрешности аппроксимации в хаусдорфовой метрике в зависимости от величины $\nu$. Доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для управлений, приводящих систему на границу множества достижимости при двойных ограничениях — в $L_1$ и $L_\infty$.
Ключевые слова: управляемая система, множество достижимости, двойные ограничения, асимптотика
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under $L_2$ bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems (DCDIS). Ser. A: Math. Anal.; vol. 11. 2004. P. 255–267.
2. Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50, no. 1. P. 4082–4087. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.792
3. Patsko V.S., Trubnikov G.I., Fedotov A.A. Reachable set of the Dubins car with an integral constraint on control // Dokl. Math. 2023. Vol. 108, suppl. 1. P. S34–S41. https://doi.org/10.1134/S106456242360080X
4. Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differ. Equat. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1–2. P. 57–73. https://doi.org10.1007/s00030-006-4036-6
5. Guseinov Kh.G. Approximation of the attainable sets of the nonlinear control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Anal. 2009. Vol. 71, no. 1–2. P. 622–645. https://doi.org/10.1016/j.na.2008.10.097
6. Huseyin A., Huseyin N., Guseinov Kh.G. Continuity of $L_p$ balls and an application to input-output systems // Math. Notes. 2022. Vol. 111, no. 1. P. 58–70. https://doi.org/10.1134/S0001434622010072
7. Huseyin N., Huseyin A. and Guseinov Kh.G. On the properties of the set of trajectories of nonlinear control systems with integral constraints on the control functions// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Vol. 28, no. 3. P. 274–284.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-3-274-284
8. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Машина Дубинса с ограничением на управление в $L_p$ при $p \in (1, 2] $: построение двумерного множества достижимости // Теория управления и математическое моделирование: тр. Всерос. конф. с междунар. участием, посвящ. памяти профессора Н. В. Азбелева и профессора Е. Л. Тонкова: в 2-х ч. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 2025. Ч. 2. С. 118–121.
9. Gusev M.I. On some properties of reachable sets for nonlinear systems with control constraints in $L_p$ // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.) 2024. Vol. 327, suppl. 1. P. S124–S137. https://doi.org/10.1134/S0081543824070095
10. Gusev M.I. Computing the reachable set boundary for an abstract control system: revisited // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 99–108. https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.008
11. Gusev M.I. Asymptotic behavior of reachable sets with $L_p$-bounded controls // Ural Math. J. 2025. Vol. 11, no. 2. P. 128–143. https://doi.org/10.15826/umj.2025.2.009
12. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.
13. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. М.: Физматлит, 2003. 256 с.
14. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при импульсном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 164–182. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-1-164-182
15. Kurzhanski A.B., Daryin A.N. Dynamic programming for impulse feedback and fast controls. London: Springer-Verlag Ltd., 2020. 275 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-7437-0
16. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
17. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.
18. Осипов И.О. О выпуклости множеств достижимости по части координат нелинейных управляемых систем на малых промежутках времени // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Комп. науки. 2021. Vol. 31, № 2. C. 210–225. https://doi.org/10.35634/vm210204
19. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. 3-е изд. М.: Наука, 1974. 484 с.
20. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Уcпехи мат. наук. 1980. Т. 35, № 6. С. 11–46.
21. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.
22. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.
Поступила 14.05.2026
После доработки 27.05.2026
Принята к публикации 1.06.2026
Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.И. Гусев. Асимптотика множеств достижимости при двойных ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 57-70
English
M.I. Gusev. Asymptotics of reachable sets under double control constraints
The paper studies reachable sets at a fixed time instant for nonlinear control systems with integral control constraints given by a ball in the space $L_p$ for $p\geq 1$. It investigates the possibility of approximating these sets by reachable sets under the additional constraint $|u|_{\infty}\leq\nu$ on the control norm in $L_{\infty}$ as $\nu\to\infty$. Sufficient conditions are obtained whose fulfillment guarantees coincidence of the reachable sets for some finite $\nu$ if $p>1$. For $p = 1$, in the linear case error estimates for the approximation in the Hausdorff metric are obtained depending on the magnitude of $\nu$ . Necessary optimality conditions in the form of Pontryagin’s maximum principle are proved for controls that steer the system to the boundary of the reachable set under the double constraints in~$L_1$ and $L_{\infty}$.
Keywords: control system, reachable set, double constraints, asymptotics
Received May 14, 2026
Revised May 27, 2026
Accepted June 1, 2026
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project No. 25-11-00269, https://rscf.ru/project/25-11-00269/.
Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: gmii@imm.uran.ru
Cite this article as: M.I. Gusev. Asymptotics of reachable sets under double control constraints. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol 32, no. 3, pp. 57–70.
