First Online 2026
УДК 512.542
MSC: 20D35
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-03
Full Text
Пусть $G$ — конечная группа. Если $K$ — подгруппа в $G$ и существует максимальная в $G$ подгруппа $M$ такая, что $K$ является максимальной подгруппой в $M$, то $K$ называется 2-максимальной подгруппой группы $G$. Изоордные подгруппы — это подгруппы равных порядков. Исследуется конечная группа с некоторыми изоордными 2-максимальными подгруппами. Доказывается, что в конечной группе $G$ все 2-максимальные подгруппы изоордны тогда и только тогда, когда $G$ либо примарна, либо группа с примарными собственными подгруппами. Перечислены все группы, в которых неизоордные 2-максимальные подгруппы имеют взаимно простые порядки. Они совпадают с группами, в которых неизоордные 2-максимальные подгруппы имеют единичное пересечение. Отсюда следует, что группа с 2-максимальными подгруппами простых порядков имеет порядок $p^3$, $p^2q$ или $pqr$.
Ключевые слова: конечная группа, примарная группа, изоордные группы, группа Фробениуса, группа Миллера — Морено, 2-максимальная подгруппа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 с.
2. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; NY: Springer, 1967. 793 p.
3. The GAP GROUP: GAP — Groups, Algorithms, and Programming. Ver. GAP 4.11.0 [e-resource]: A system for computational discrete algebra. Mode of access: https://www.gap-system.org
4. Monakhov V.S., Kniahina V.N. Finite groups with ℙ-subnormal subgroups // Ricerche Mat. 2013. Vol. 62, no. 2. P. 307–322. https://doi.org/10.1007/s11587-013-0153-9
5. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп /ред. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро [e-resource]. 21-е изд. доп. 299 с. https://kourovkanotebookorg.wordpress.com
6. Asaad M. Finite groups some of whose n-maximal subgroups are normal // Acta Math. Hung. 1989. Vol. 54. P. 9–27. https://doi.org/10.1007/BF01950705
7. Луценко Ю.В., Скиба А.Н. Конечные группы с субнормальными вторыми или третьими максимальными подгруппами // Мат. заметки. 2012. Т. 91, № 5. С. 730–740.
https://doi.org/10.4213/mzm9361
8. Монахов В.С., Тютянов В.Н. О конечных группах с некоторыми подгруппами простых индексов // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 833–836. https://doi.org/10.1007/s11202-007-0068-3
9. Flavell P. Overgroups of second maximal subgroups // Arch. Math. 1995. Vol. 64. P. 277–282. https://doi.org/10.1007/BF01198080
10. Коновалова М.Н. Конечные группы с ограничениями на некоторые вторые максимальные подгруппы: дис. … канд. физ.-мат. наук / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. Гомель, 2022. 94 с.
11. Чунихин С.А. О существовании подгрупп у конечной группы // Труды семинара по теории групп. М.; Л.: ГОНТИ, 1938. С. 106–125.
12. Miller G., Moreno H. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian // Trans. Amer. Math. Soc. 1903. Vol. 4. P. 398–404.
13. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.
14. Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60, № 8. C. 1313–1315.
15. Белоногов В.А. О максимальных подгруппах. II // Изв. вузов. Математика. 1962. № 5. С. 3–11.
16. Maslova N.V. Finite simple groups with two maximal subgroups of coprime orders // Сиб. электрон. мат. изв. 2023. Т. 20, № 2. С. 1150–1159. https://doi.org/10.33048/semi.2023.020.071
17. Монахов В.С., Тютянов В.Н. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами заданных порядков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 155–163.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-4-155-163
18. Тихоненко Т.В., Тютянов В.Н. Конечные группы с максимальными холловыми подгруппами // Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. 2008. № 5 (50). С. 198–206.
19. Suzuki M. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8, no. 4. P. 686–695.
20. Janko Z. Endliche Gruppen mit lauter nilpotenten zweitmaximalen Untergruppen // Math. Z. 1962. Vol. 79. P. 422–424.
21. Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными 2-максимальными подгруппами // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 1. C. 21–32.
Поступила 01.04.2026
После доработки 24.04.2026
Принята к публикации 25.05.2026
Опубликована онлайн 01.06.2026
Коновалова Марина Николаевна
канд. физ.-мат. наук
доцент
Брянский филиал Российской академии народного хозяйства
и государственной службы при Президенте РФ
г. Брянск
ORCID 0000-0002-0338-237X
e-mail: msafe83@mail.ru
Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
г. Гомель, Беларусь
ORCID 0000-0003-0977-7396
e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Ссылка на статью: М.Н. Коновалова, В.С. Монахов. Конечные группы с некоторыми изоордными 2-максимальными подгруппами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 4.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-03
English
M. N. Konovalova, V. S. Monakhov. Finite groups with some isoordic 2-maximal subgroups.
Let $G$ be a finite group. If $K$ is a subgroup of $G$ and there exists a maximal subgroup $M$ in $G$ such that $K$ is a maximal subgroup of $M$, then $K$ is called a $2$-maximal subgroup of $G$. Isoordic subgroups are subgroups of equal orders. We study a finite group with certain isordic 2-maximal subgroups. We prove that in a finite group $G$, all 2-maximal subgroups are isordic if and only if $G$ is either primary or a group with primary proper subgroups. We list all groups in which non-isoordic 2-maximal subgroups have coprime orders. They coincide with the groups in which the non-isoordic 2-maximal subgroups have unit intersection. It follows that a group with 2-maximal subgroups of prime orders has order $p^3$, $p^2q$, or $pqr$.
Keywords: finite group, primary group, isoordic groups, Frobenius group, Miller-Moreno group, 2-maximal subgroup
Received April 01, 2026
Revised April 24, 2026
Accepted May 25, 2026
Published online June 01, 2026
Funding Agency: The research was funded by Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research, Grant number Ф26РНФ-101.
Marina Nikolaevna Konovalova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), The Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration under the President of the Russian Federation (Bryansk Branch), Bryansk, 241050 Russia, ORCID 0000-0002-0338-237X, e-mail: msafe83@mail.ru.
Victor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Scorina Gomel State University, Gomel, 246019, Belarus, ORCID 0000-0003-0977-7396, e-mail: victor.monakhov@gmail.com.
Cite this article as: M.N.Konovalova, V.S.Monakhov. Finite groups with some isoordic 2-maximal subgroups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026. Vol. 32, no. 4.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-03
